Chứng tỏ biểu thức sau luôn dương với mọi giá trị của x

Để chứng minh rằng biểu thức \( n = x^2 - 6x + 10 \) luôn dương với mọi giá trị của \( x \), ta sẽ sử dụng định lý về phương trình bậc hai và các tính chất của nó.

1. **Xác định hệ số**:
Biểu thức \( n \) là một đa thức bậc hai có dạng \( ax^2 + bx + c \) với:
- \( a = 1 \)
- \( b = -6 \)
- \( c = 10 \)

2. **Tính discriminant**:
Để kiểm tra tính khả thi của giá trị nhỏ nhất của biểu thức bậc hai này, ta tính discriminant (định thức):
\[
D = b^2 - 4ac = (-6)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 10 = 36 - 40 = -4
\]
Vì \( D < 0 \), điều này có nghĩa là phương trình bậc hai này không có nghiệm thực, và biểu thức luôn dương hoặc luôn âm.

3. **Xác định dấu của biểu thức**:
Vì hệ số \( a = 1 > 0 \), biểu thức bậc hai \( n \) sẽ luôn nhận giá trị dương.

4. **Tính giá trị nhỏ nhất**:
Chúng ta có thể tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức bằng cách tính tọa độ đỉnh của parabol:
- Tọa độ x của đỉnh:
\[
x = -\frac{b}{2a} = -\frac{-6}{2 \cdot 1} = 3
\]
- Tính giá trị tại \( x = 3 \):
\[
n(3) = 3^2 - 6 \cdot 3 + 10 = 9 - 18 + 10 = 1
\]
Giá trị này là dương (\( n(3) = 1 > 0 \)).

Vì vậy, chúng ta có thể kết luận rằng:
\[
n = x^2 - 6x + 10 > 0 \quad \text{với mọi giá trị của } x.
\]