Để chứng minh các trường hợp này, chúng ta cần dựa vào định luật Archimedes về lực đẩy và định nghĩa về trọng lượng, khối lượng.

1. **Định nghĩa trọng lượng và lực đẩy Archimedes:**
- Trọng lượng \( W \) của một vật được tính bằng công thức:
\[
W = m \cdot g
\]
trong đó \( m \) là khối lượng của vật và \( g \) là gia tốc trọng trường (xấp xỉ 9,81 m/s² gần bề mặt Trái Đất).
- Lực đẩy Archimedes \( F_A \) tác dụng lên vật khi thả trong chất lỏng được tính bằng trọng lượng của chất lỏng mà vật chiếm chỗ:
\[
F_A = V \cdot \rho \cdot g
\]
trong đó \( V \) là thể tích của phần vật ngập trong chất lỏng, \( \rho \) là mật độ của chất lỏng.

2. **Chứng minh trường hợp vật chìm hoặc nổi:**

a. **Vật chìm:**
- Khi chúng ta thả một vật có trọng lượng \( W \) vào chất lỏng, nếu trọng lượng của vật lớn hơn lực đẩy Archimedes thì:
\[
W > F_A
\]
- Khi này, vật không thể duy trì ở trạng thái cân bằng và sẽ chìm xuống do trọng lượng lớn hơn lực đẩy. Khi vật chìm, phần ngập trong chất lỏng sẽ tăng lên cho đến khi toàn bộ vật chìm hẳn xuống, cho đến khi đạt đến trạng thái cân bằng mới (nếu không có lực khác tác động).

b. **Vật nổi lên:**
- Ngược lại, nếu trọng lượng của vật nhỏ hơn lực đẩy Archimedes thì:
\[
W < F_A
\]
- Khi này, lực đẩy sẽ lớn hơn trọng lượng của vật, làm cho vật nổi lên và có xu hướng di chuyển lên phía trên. Vật sẽ tiếp tục nổi cho đến khi đạt đến trạng thái cân bằng với 1 phần hoặc toàn bộ trên mặt chất lỏng, miễn là vật không hoàn toàn chìm xuống.

3. **Kết luận:**
- Từ hai trường hợp trên, chúng ta có thể kết luận rằng:
- Vật sẽ chìm nếu trọng lượng của nó lớn hơn lực đẩy Archimedes.
- Vật sẽ nổi lên nếu trọng lượng của nó nhỏ hơn lực đẩy Archimedes.

Điều này hoàn toàn phù hợp với nguyên lý cơ bản của sự nổi và chìm trong chất lỏng, được mô tả bởi định luật Archimedes.