Để giải bài toán này, chúng ta sẽ làm từng phần một.

### a) Chứng minh tứ giác ABCD là hình bình hành:

- Gọi \( A \) là điểm \( (0, 0) \), \( B \) là điểm \( (0, b) \), \( C \) là điểm \( (c, 0) \).
- Do \( M \) là trung điểm của \( AC \), nên tọa độ của \( M \) là:
\[
M = \left( \frac{c}{2}, \frac{0}{2} \right) = \left( \frac{c}{2}, 0 \right)
\]
- Tọa độ điểm \( D \) được xác định trên tia đối của \( MB \) do \( M \) là trung điểm của \( BD \), có nghĩa là \( D \) có tọa độ là:
\[
D = (c - \frac{-c}{2}, b - 0) = (c, b)
\]

Ta có các điểm \( A(0,0) \), \( B(0,b) \), \( C(c,0) \), và \( D(c,b) \).

- Tính độ dài các cạnh:
- \( AB = |b - 0| = b \)
- \( CD = |b - 0| = b \)
- \( AC = |c - 0| = c \)
- \( BD = |c - 0| = c \)

Vì \( AB = CD \) và \( AC = BD \), tứ giác \( ABCD \) là hình bình hành.

### b) Gọi N là điểm đối xứng với B qua A, chứng minh tứ giác ACDN là hình chữ nhật:

- Tọa độ điểm đối xứng với \( B(0, b) \) qua \( A(0, 0) \) là \( N(0, -b) \).
- Tứ giác \( ACDN \) có các đỉnh:
- \( A(0, 0) \)
- \( C(c, 0) \)
- \( D(c, b) \)
- \( N(0, -b) \)

- Để chứng minh tứ giác này là hình chữ nhật, ta sẽ kiểm tra các góc:
- \( AC \) song song với trục hoành.
- \( AN \) và \( DC \) đều vuông góc với \( AC \).

Vì vậy, tứ giác \( ACDN \) là hình chữ nhật.

### c) Qua B kẻ đường thẳng song song với MN cắt AC tại E, chứng minh tứ giác EBMN là hình thoi:

- Đầu tiên, tọa độ điểm \( E \) sẽ nằm trên cạnh \( AC \), nên có tọa độ là \( (x, 0) \).
- Đường thẳng \( MN \) có độ dốc là:
\[
k_{MN} = \frac{-b - 0}{0 - \frac{c}{2}} = \frac{-2b}{-c} = \frac{2b}{c}
\]

Vì đường thẳng qua \( B(0, b) \) song song với \( MN \) thì độ dốc của đường thẳng \( BE \) cũng phải là \( \frac{2b}{c} \). Ta có thể tính tọa độ \( E \) sao cho:
\[
\frac{y_B - y_E}{x_B - x_E} = \frac{2b}{c} \rightarrow \frac{b - 0}{0 - x} = \frac{2b}{c}
\]

Giả sử \( E = (x, 0) \) và giải phương trình này sẽ cho ta tọa độ \( E \).

Để chứng minh \( EBMN \) là hình thoi:
- Ta nhận thấy rằng các cạnh \( EB \) và \( MN \) đều có độ dài bằng nhau và song song.
- Các cạnh đối diện \( BM \) và \( EN \) cũng có độ dài bằng nhau và song song.

Hơn nữa, vì \( M \) và \( N \) là điểm đối xứng với \( B \) và \( A \), nên các góc tại \( E \) đều bằng 90 độ.

Vì vậy, tứ giác \( EBMN \) là hình thoi.

### Hình vẽ:

Dưới đây là cách bạn có thể hình dung hình vẽ:

1. Vẽ tam giác vuông \( ABC \) tại \( A \).
2. Đánh dấu \( M \) là trung điểm của \( AC \).
3. Vẽ điểm \( D \) trên tia đối của \( MB \) sao cho \( M \) là trung điểm của \( BD \).
4. Đánh dấu điểm đối xứng \( N \) với \( B \) qua \( A \).
5. Kẻ đường thẳng song song với \( MN \) đi qua \( B \) và cắt \( AC \) tại \( E \).

Nếu có thể, bạn có thể sử dụng phần mềm vẽ hình hoặc giấy để minh họa cho các điểm và tứ giác đã được đề cập.