1) Chứng minh góc BCF = góc BEF:

Xét tứ giác BCEF, ta có:

Góc BEC = 90° (BE là đường cao)
Góc BFC = 90° (CF là đường cao)
Vậy, góc BEC + góc BFC = 180°.
Suy ra, tứ giác BCEF là tứ giác nội tiếp (tổng hai góc đối bằng 180°).
Vì tứ giác BCEF nội tiếp, nên góc BCF và góc BEF là hai góc nội tiếp cùng chắn cung BF.
Do đó, góc BCF = góc BEF (tính chất góc nội tiếp cùng chắn một cung).

2) Gọi I là trung điểm BC. Chứng minh tam giác IEF đều:

Vì I là trung điểm của BC, và tam giác BEC vuông tại E, nên IE là đường trung tuyến ứng với cạnh huyền BC. Do đó, IE = BC/2 = IB = IC.

Tương tự, vì I là trung điểm của BC, và tam giác BFC vuông tại F, nên IF là đường trung tuyến ứng với cạnh huyền BC. Do đó, IF = BC/2 = IB = IC.

Từ đó, ta có IE = IF = IB = IC.

Xét tam giác AEF:

Tứ giác BCEF nội tiếp (chứng minh ở câu 1).
Suy ra, góc AEF = góc ACB (góc ngoài bằng góc trong đối diện).
Tương tự, góc AFE = góc ABC.
Mà góc A = 60° (giả thiết).
Suy ra, góc ACB + góc ABC = 180° - góc A = 180° - 60° = 120°.
Xét tam giác AEF, góc AEF + góc AFE = góc ACB + góc ABC = 120° => Góc EAF = 180 - 120 = 60 độ
Xét tam giác IEF:

IE = IF (chứng minh trên).
Vậy, tam giác IEF cân tại I.
Góc EIF = 180 - (góc AEF + góc AFE) = 180 - (ACB + ABC) = 180 - 120 = 60 độ
Do đó, góc IEF = (180° - góc EIF)/2 = (180-60)/2 = 60 độ
Vậy tam giác IEF là tam giác đều (tam giác cân có một góc 60°).
3) Gọi K là trung điểm EF. Chứng minh IK song song với OA:

Vì tam giác IEF đều (chứng minh ở câu 2), và K là trung điểm của EF, nên IK là đường trung tuyến đồng thời là đường cao của tam giác IEF. Do đó, IK vuông góc với EF.

Gọi H là giao điểm của OA và BC.

Xét tam giác ABC nội tiếp đường tròn (O), OA là bán kính và BC là dây cung.
Góc BAC = 60 độ.
Ta có góc BOC = 2BAC = 120 độ
Trong tam giác BOC cân tại O, OH là đường trung tuyến nên đồng thời là đường cao => OH vuông góc BC.
Xét tứ giác AEHF có góc AEH = góc AFH = 90 độ nên tứ giác AEHF nội tiếp.
=> Góc EHF = 180 - góc EAF = 180 - 60 = 120 độ

Xét tam giác OEF có OE = OF = R nên tam giác OEF cân tại O => góc OEF = (180 - góc EOF)/2 = (180 - 120)/2 = 30 độ
=> góc OEF = góc EHF/2
=> OH là đường trung tuyến của tam giác OEF => OH vuông góc EF

Vậy, IK vuông góc với EF và OH vuông góc với EF.
Suy ra, IK // OH hay IK // OA.