1. 
Trong tam giác vuông ABC, AM là đường trung tuyến ứng với cạnh huyền BC nên AM = MB = MC = BC/2.
Xét tứ giác ANBM có:
H là trung điểm của AB (gt).
H là trung điểm của MN (HN = HM). Vậy ANBM là hình bình hành.
Mà AM = MB (cmt) nên hình bình hành ANBM là hình thoi.
2. 
Vì ANBM là hình thoi nên AN // BM hay AN // BC.
Mà DN ⊥ BN (gt), BN là một phần của BC nên DN ⊥ AN.
Xét ΔADN vuông tại N có NH là đường trung tuyến ứng với cạnh huyền AD nên NH = AD/2.
Mà NH = HM nên HM = AD/2 => AD = 2HM.
Xét ΔABD, H là trung điểm AB, HM là đường trung bình => HM // BD
Mà HM vuông góc với AN (do ANBM là hình thoi) nên BD vuông góc AN
Mà DN vuông góc BN nên góc AND = 90 độ.
Xét ΔANB và ΔDNB có:
NB chung
góc ANB = góc DNB (=90 độ)
AN = BN (ANBM là hình thoi) Vậy ΔANB = ΔDNB (c.g.c) => AB=DB.
Xét ΔADC có: AM là trung tuyến, AB = BD => M là trung điểm CD => AM là đường trung tuyến của tam giác vuông ADC => AM = MC = MD.
Suy ra ΔAMC cân tại M => góc MAC = góc MCA
Mà góc MAC + góc MAB = 90 độ
Góc MCA + góc MDC = 90 độ (ΔMDC cân tại M)
Mà góc MAB = góc MDC (so le trong do AB//MD)
Vậy góc MAC = góc MDC => DM vuông góc AC.
Chứng minh ΔBDC cân:
Ta có AB = BD (cmt) và M là trung điểm CD (cmt) => BM là trung tuyến của ΔBDC.
Mà BM = MC = MD (cmt) => BM = MD.
Vậy ΔBDC cân tại B.