Để tính giá trị của biểu thức \( S = \frac{a}{b+c} + \frac{b}{c+a} + \frac{c}{a+b} \) với điều kiện \( a + b + c = 2024 \) và \( \frac{1}{a+b} + \frac{1}{b+c} + \frac{1}{a+c} = \frac{1}{4} \), chúng ta tiến hành như sau:

### Bước 1: Tính tổng \( a+b+c \)
Từ điều kiện, ta có:

\[
b+c = 2024 - a, \quad c+a = 2024 - b, \quad a+b = 2024 - c
\]

### Bước 2: Thay vào điều kiện thứ hai
Ta thay các giá trị vào phương trình:

\[
\frac{1}{a+b} + \frac{1}{b+c} + \frac{1}{c+a} = \frac{1}{2024 - c} + \frac{1}{2024 - a} + \frac{1}{2024 - b} = \frac{1}{4}
\]

### Bước 3: Đặt \( x = a, y = b, z = c \)
Viết lại biểu thức \( S \):

\[
S = \frac{x}{2024 - x} + \frac{y}{2024 - y} + \frac{z}{2024 - z}
\]

### Bước 4: Tính \( S \)
Chúng ta có thể sử dụng định lý Cauchy–Schwarz:

\[
\left( \frac{x}{2024 - x} + \frac{y}{2024 - y} + \frac{z}{2024 - z} \right) \left( (2024 - x) + (2024 - y) + (2024 - z) \right) \geq (x + y + z)^2
\]

Ở đây, \( (2024 - x) + (2024 - y) + (2024 - z) = 3 \cdot 2024 - (x + y + z) = 3 \cdot 2024 - 2024 = 2 \cdot 2024 = 4048 \) và \( x + y + z = 2024 \).

### Bước 5: Áp dụng để tìm giá trị của \( S \)

Áp dụng bất đẳng thức Cauchy:

\[
S \cdot 4048 \geq 2024^2
\]

Từ đó giải được \( S \):

\[
S \geq \frac{2024^2}{4048} = \frac{2024 \cdot 2024}{4048} = \frac{2024}{2} = 1012
\]

Như vậy, giá trị biểu thức \( S \) là:

\[
\boxed{1}
\]

### Kết luận
Đến đây ta thấy \( S \) đạt giá trị tối thiểu là 1 dưới điều kiện \( a + b + c = 2024 \) và điều kiện của \( \frac{1}{a+b} + \frac{1}{b+c} + \frac{1}{c+a} \).