a) 
Theo đề bài, ta có:
MD ⊥ AB tại D ⇒ ∠ADB = 90°
ME ⊥ AC tại E ⇒ ∠AEM = 90°
Tam giác ABC vuông tại A ⇒ ∠BAC = 90°
Xét tứ giác ADME, ta có:
∠ADB = ∠AEM = ∠BAC = 90°
Vậy, tứ giác ADME có ba góc vuông. Theo định nghĩa, tứ giác có ba góc vuông là hình chữ nhật.
 Tứ giác ADME là hình chữ nhật.
b) 
Theo đề bài, F nằm trên tia đối của tia EM sao cho EM = MF. Điều này có nghĩa là M là trung điểm của đoạn thẳng EF.
Xét tứ giác AMCF, ta có:
M là trung điểm của BC (giả thiết).
M là trung điểm của EF (chứng minh trên).
Theo định nghĩa, tứ giác có hai đường chéo cắt nhau tại trung điểm của mỗi đường là hình bình hành. Vậy, tứ giác AMCF là hình bình hành.
Vì ADME là hình chữ nhật (chứng minh ở câu a), nên AM = DE (tính chất đường chéo hình chữ nhật).
Trong tam giác vuông ABC, M là trung điểm của cạnh huyền BC, nên AM là đường trung tuyến ứng với cạnh huyền. Theo tính chất đường trung tuyến ứng với cạnh huyền trong tam giác vuông, ta có AM = BC/2 = MC.
Vì ADME là hình chữ nhật nên AD // ME và AD = ME. Do đó, AD // MF và AD = MF.
Vì AD // MF và AD = MF nên tứ giác ADFM là hình bình hành. Do đó AF // DM. Mà DM ⊥ AB nên AF ⊥ AB.
Ta đã chứng minh AMCF là hình bình hành và AM = MC. Theo định nghĩa, hình bình hành có hai cạnh kề bằng nhau là hình thoi.
Tứ giác AMCF là hình thoi.