Để giải bài toán này, ta sẽ áp dụng một số kiến thức về tỉ lệ diện tích của các tam giác có chung một đỉnh và đường cao.

### Phân tích bài toán

1. **Cho tam giác ABC, M là điểm nằm trên BC**, M chia BC thành 2 đoạn: BM và MC.
2. **N là điểm nằm trên AC** sao cho \( AN = \frac{2}{5} AC \).
3. Diện tích tam giác \( ABM = 30 \, \text{cm}^2 \).

### Tính diện tích tam giác ABC

Do M là điểm nằm trên cạnh BC, ta có:
- Diện tích tam giác ABC có thể được tính bằng diện tích của tam giác ABM và diện tích tam giác AMC.
- Gọi \( S \) là diện tích của tam giác ABC.

### Tính tỉ lệ của diện tích tam giác ABM và AMC

Vì N nằm trên AC (và AN chia AC theo tỉ lệ \( AN:NC = 2:3 \)):
- Diện tích tam giác \( ABN \) bằng một phần bội số diện tích tam giác \( ABC \), dựa vào chiều cao chung từ A xuống BC.

#### Diện tích tam giác ABN

Ta tính được diện tích tam giác ABC như sau:
- Tỉ lệ \( AN: NC = \frac{2}{3} \):
- Gọi độ dài AC = \( k \), ta có \( AN = \frac{2}{5}k \) và \( NC = \frac{3}{5}k \).
- Từ tỉ lệ này, diện tích tam giác ABN so với ABC sẽ là:
\[
\frac{S_{ABN}}{S_{ABC}} = \frac{AN}{AC} = \frac{2}{5}
\]

Vì \( S_{ABM} = 30 \, \text{cm}^2 \):
- Diện tích tam giác AMC bằng \( S_{ABC} - S_{ABM} \), nhưng để tính được \( S_{ABC} \) chúng ta cần biết thêm về diện tích của tam giác AMC hoặc tỉ lệ BM và MC.

#### Tổng hợp lại:

Chúng ta sẽ cần thông tin thêm hoặc một bước tóm tắt để tìm \( S_{ABC} \).
Sau khi có \( S_{ABC} \), ta có thể tính \( S_{ABN} \) theo tỉ lệ diện tích:

\[
S_{ABN} = \frac{2}{5} S_{ABC}
\]

### Kết luận
Nếu bạn có thêm thông tin về cạnh BM hoặc MC, hãy cung cấp để hoàn thiện bài toán. Còn ở đây, nếu bạn tính được diện tích \( S_{ABC} \), bạn có thể dễ dàng tìm được diện tích \( S_{ABN} \).