Để chứng minh rằng \( 4n^3 + 2n - 1 \) không thể là một số chính phương với \( n \in \mathbb{N} \), chúng ta sẽ phân tích biểu thức này theo các bước sau:

1. **Xác định các số chính phương**: Một số chính phương có thể được viết dưới dạng \( k^2 \) với \( k \in \mathbb{Z} \).

2. **Xét biểu thức \( 4n^3 + 2n - 1 \)**:
- Chúng ta có thể viết lại biểu thức:
\[
4n^3 + 2n - 1 = 2n(2n^2 + 1) - 1
\]

3. **Xét phần dư khi chia 4**:
- Để tìm xem \( 4n^3 + 2n - 1 \) có thể là một số chính phương hay không, ta xem xét điều kiện này theo modulo 4.
- Ta phân tích giá trị của \( n \) với các trường hợp khác nhau:
- Nếu \( n \equiv 0 \pmod{2} \) (tức là \( n \) chẵn):
- \( 4n^3 \equiv 0 \pmod{4} \)
- \( 2n \equiv 0 \pmod{4} \)
- Vậy \( 4n^3 + 2n - 1 \equiv -1 \equiv 3 \pmod{4} \)
- Nếu \( n \equiv 1 \pmod{2} \) (tức là \( n \) lẻ):
- \( 4n^3 \equiv 0 \pmod{4} \)
- \( 2n \equiv 2 \pmod{4} \)
- Vậy \( 4n^3 + 2n - 1 \equiv 1 \pmod{4} \)

Vậy \( 4n^3 + 2n - 1 \) có thể nhận giá trị là 1 hoặc 3 (nhưng chính xác hơn, nó là 3 chỉ cho trường hợp n chẵn).

4. **Kết luận**:
- Các số chính phương trong trường hợp modulo 4 có thể là:
- \( k^2 \equiv 0 \pmod{4} \) (nếu \( k \) chẵn)
- \( k^2 \equiv 1 \pmod{4} \) (nếu \( k \) lẻ)
- Tuy nhiên, \( 4n^3 + 2n - 1 \equiv 3 \pmod{4} \) không thể là chính phương.
- Do đó, \( 4n^3 + 2n - 1 \) không thể là số chính phương với mọi \( n \in \mathbb{N} \).

Kết luận: \( 4n^3 + 2n - 1 \) không thể là một số chính phương với mọi \( n \in \mathbb{N} \).