Để rút gọn biểu thức \( A = \frac{3x}{x+3} + \frac{4}{x-3} - \frac{3x^{2} - 2x + 3}{x^{2} - 9} \), chúng ta thực hiện các bước sau:

### Bước a: Rút gọn biểu thức \( A \)

1. **Nhận dạng mẫu số chung**:
Mẫu số \( x^2 - 9 \) có thể được phân tích thành \( (x-3)(x+3) \). Do đó, mẫu số chung của các phần tử trong biểu thức \( A \) là \( (x-3)(x+3) \).

2. **Chuyển đổi các phần tử về mẫu số chung**:
- Phần tử thứ nhất:
\[
\frac{3x}{x+3} = \frac{3x(x-3)}{(x+3)(x-3)} = \frac{3x^2 - 9x}{(x+3)(x-3)}
\]

- Phần tử thứ hai:
\[
\frac{4}{x-3} = \frac{4(x+3)}{(x-3)(x+3)} = \frac{4x + 12}{(x-3)(x+3)}
\]

- Phần tử thứ ba là:
\[
- \frac{3x^2 - 2x + 3}{x^2 - 9} = -\frac{3x^2 - 2x + 3}{(x-3)(x+3)}
\]

3. **Kết hợp tất cả lại**:
\[
A = \frac{3x^2 - 9x + 4x + 12 - (3x^2 - 2x + 3)}{(x-3)(x+3)}
\]
Làm gọn phần tử ở tử số:
\[
= \frac{3x^2 - 9x + 4x + 12 - 3x^2 + 2x - 3}{(x-3)(x+3)}
\]
Bỏ qua \( 3x^2 \):
\[
= \frac{-3x + 9}{(x-3)(x+3)} = \frac{-3(x - 3)}{(x-3)(x+3)}
\]
Rút gọn tiếp:
\[
= \frac{-3}{x + 3} \quad (x \neq 3)
\]

Vậy, biểu thức \( A \) sau khi rút gọn là:
\[
A = \frac{-3}{x+3} \quad (x \neq -3, x \neq 3)
\]

### Bước b: Tính giá trị của \( A \) khi \( x = -1 \)

Thay \( x = -1 \) vào biểu thức đã rút gọn:
\[
A = \frac{-3}{-1 + 3} = \frac{-3}{2}
\]

### Bước c: Tìm \( x \) để \( A = \frac{1}{2} \)

Giải phương trình:
\[
\frac{-3}{x + 3} = \frac{1}{2}
\]

Nhân chéo:
\[
-3 \cdot 2 = 1 \cdot (x + 3)
\]
\[
-6 = x + 3
\]
\[
x = -9
\]

Vậy giá trị của \( x \) để \( A = \frac{1}{2} \) là:
\[
x = -9
\]

Tóm lại:
a) \( A = \frac{-3}{x + 3} \)
b) \( A(-1) = \frac{-3}{2} \)
c) \( x = -9 \) khi \( A = \frac{1}{2} \)