Để tính toán số ngày làm tăng ca tối thiểu để anh Nam có tổng tiền lương là 10,300,000đ trong tháng 11, ta thực hiện các bước sau:

1. **Tính lương cơ bản trong tháng 11:**
- Lương cơ bản một ngày là 320,000đ.
- Anh Nam làm việc trong 26 ngày, do đó:
\[
\text{Lương cơ bản} = 320,000 \times 26 = 8,320,000 \text{đ}
\]

2. **Tính số tiền cần kiếm thêm:**
- Tổng tiền lương mong muốn là 10,300,000đ.
- Lương cơ bản anh Nam đã có là 8,320,000đ, vậy số tiền anh Nam cần kiếm thêm từ tăng ca là:
\[
10,300,000 - 8,320,000 = 1,980,000 \text{đ}
\]

3. **Tính lương tăng ca:**
- Tiền lương cơ bản một giờ:
\[
\text{Lương cơ bản một giờ} = \frac{320,000}{8} = 40,000 \text{đ}
\]
- Tiền lương tăng ca một giờ = 150% lương cơ bản một giờ:
\[
\text{Lương tăng ca một giờ} = 1.5 \times 40,000 = 60,000 \text{đ}
\]

4. **Tính lương tăng ca cho từng ngày:**
- Nếu anh Nam làm tăng ca một ngày tối đa 3 giờ:
\[
\text{Lương tăng ca tối đa một ngày} = 3 \times 60,000 = 180,000 \text{đ}
\]

5. **Tính số ngày cần làm tăng ca:**
- Giả sử anh Nam làm tăng ca \(x\) ngày, số lương từ tăng ca sẽ là:
\[
\text{Lương từ tăng ca} = 180,000 \times x
\]
- Để có đủ số tiền cần kiếm thêm:
\[
180,000 \times x = 1,980,000
\]
- Giải phương trình để tìm \(x\):
\[
x = \frac{1,980,000}{180,000} \approx 11
\]

6. **Kết luận:**
- Do anh Nam chỉ có thể làm việc trong 26 ngày, số ngày tối đa cho phép là 26 ngày.
- Với 11 ngày làm tăng ca, anh phải phân bổ thời gian tăng ca cho các ngày đó.

Thậm chí, anh Nam vẫn có thể làm tăng ca trong ít ngày hơn nếu tăng ca thêm giờ trong các ngày khác. Nhưng từ tính toán này, anh Nam cần làm tăng ca ít nhất **11 ngày** để đáp ứng điều kiện tổng tiền lương là 10,300,000đ.