Để giải bài toán này, ta sẽ thực hiện từng phần một cách chi tiết:

**a) Chứng minh tứ giác HDEI là hình chữ nhật:**

1. **Để chỉ ra rằng HDEI là hình chữ nhật, ta cần chứng minh hai cặp cạnh đối diện của nó bằng nhau và song song với nhau.**
2. Ta có \(HA \perp BC\) (vì AH là đường cao). Do đó, \(HE \perp DE\) bởi DE vuông góc với BC.
3. Vì \(E\) là điểm trên \(AC\) và \(D\) là điểm trên \(BC\), nên \(\angle HED = 90^\circ\).
4. Tương tự, \(\angle HIE = 90^\circ\), do \(E_1\) là đường vuông góc với \(AH\) tại \(E\).
5. Bằng cách sử dụng các tính chất vuông góc, ta có thể suy ra rằng \(HDEI\) có bốn góc vuông, do đó HDEI là hình chữ nhật.

**b) Chứng minh AH = E1:**

1. **Từ định nghia đường cao, ta biết rằng chiều dài của đường cao từ A tới BC được gọi là AH.**
2. Ta cũng nhận thấy rằng E1 là điểm trên đường cao AH, tuy nhiên từ cách xây dựng các đoạn thẳng vuông góc, ta chứng minh rằng \(AH\) phải bằng chiều dài của \(E_1\).
3. Theo ý nghĩa địa hình, khoảng cách AH và E1 là như nhau trong tứ giác nói trên là hình chữ nhật.

**c) Chứng minh GB.AC = GC.AE:**

1. **Để chứng minh tỉ số này, ta có thể sử dụng định lý Tương giao:**
- Từ tứ giác HDEI, do đã chứng minh nó là hình chữ nhật, ta có thể áp dụng tính chất của hình chữ nhật để phân tích các tỉ lệ.
- Sử dụng định lý Pytago cũng có thể phối hợp tính toán các đoạn thẳng AB, AC, AE, GC và các đoạn còn lại từ đó so sánh được tỉ lệ.

Tóm lại, ba phần này cần những tính chất về đường cao và hình học để tiến hành chứng minh một cách chặt chẽ hơn. Nếu cần thêm trợ giúp, hãy cho tôi biết!