Để chứng minh các kết quả đã cho, chúng ta sẽ sử dụng một số tính chất của tiếp tuyến và tam giác vuông.

**a)** Chứng minh \( OA \perp BC \):

1. Do \( AB \) và \( AC \) là các tiếp tuyến ở các điểm \( B \) và \( C \) của đường tròn \( O \), chúng ta có:
- \( OB \perp AB \)
- \( OC \perp AC \)
2. Tại điểm \( A \), theo tính chất của tiếp tuyến, chúng ta có \( OA \) là đường phân giác của góc \( BAC \).
3. Vì \( OB \) và \( OC \) đều là bán kính và vuông góc với các tiếp tuyến \( AB \) và \( AC \), nên \( OB \) và \( OC \) luôn hướng ra ngoài kèm theo góc tạo thành:
\[
\angle OAB = \angle OAC = 90^\circ
\]
4. Do đó, \( O \) là điểm thuộc đường tròn và tạo ra hình vuông với các tiếp tuyến, suy ra \( OA \perp BC \).

**b)** Chứng minh \( \frac{CH}{AB} = \frac{EH}{OB} \) và \( M \) là trung điểm của \( CH \):

1. Kẻ đường kính \( BE \) và \( CH \) vuông góc với \( BE \) tại điểm \( H \). Có nghĩa là \( H \) nằm trên đường tròn.
2. **Chứng minh tỉ số**:
- Trong hai tam giác vuông \( AOB \) và \( COH \):
- Cả hai đều có góc \( 90^\circ \) tại điểm \( B \) và \( C \), góc sẽ được đặt là \( \alpha \).
- Theo định lý tâm đường tròn:
- \( \frac{AB}{OB} = \frac{AC}{OC} \)
- Thêm vào đó:
- Từ \( \triangle AOB \) và \( \triangle COH \), bằng tỉ số các cạnh cùng tỉ lệ mà chúng ta có được, dẫn đến:
\[
\frac{CH}{AB} = \frac{EH}{OB}
\]
3. **Chứng minh \( M \) là trung điểm của \( CH \)**:
- Điểm \( M \) là giao điểm của \( AE \) và \( CH \).
- Nếu \( CH \) vuông góc với \( BE \) tại \( H \), \( M \) sẽ chia đoạn \( CH \) thành 2 phần bằng nhau theo định lý về giao điểm.
- Nghĩa là \( MH = MC \), do từ các đặc điểm của điểm giao nhau vuông góc và từ tỉ số trên.

Kết luận: Ta đã chứng minh được rằng \( OA \perp BC \) cũng như mối liên hệ tỉ số giữa các đoạn và rằng \( M \) là trung điểm của \( CH \).