Chứng minh: 4 điểm A, O, E, M cũng thuộc một đường tròn

Để chứng minh bài toán, chúng ta sẽ thực hiện các bước từng phần như sau:

### Bài toán 1: Chứng minh 4 điểm A, O, E, M thuộc một đường tròn

#### Giả thiết:
- \( O \) là tâm đường tròn với đường kính \( AB \).
- \( E \) là một điểm nằm trên đường tròn \( (O) \).
- \( M \) là giao điểm của hai tiếp tuyến tại \( A \) và \( B \) của đường tròn \( (O) \).

#### Chứng minh:
1. Đường tròn \( (O) \) có tâm \( O \) và bán kính bằng \( \frac{AB}{2} \).
2. Vì \( A \) và \( B \) là hai điểm nằm trên đường tròn \( (O) \), chúng ta có \( OA = OB = R \) (với \( R \) là bán kính).
3. Tiếp tuyến tại một điểm trong một đường tròn vuông góc với bán kính tại điểm đó. Do vậy, ta có:
- \( MA \perp OA \)
- \( MB \perp OB \)
4. Ta chứng minh rằng \( M \) nằm trên đường tròn có tâm \( O \) và bán kính bằng \( OE \):
- Xét tam giác \( OAE \) và \( OBE \), do \( E \) thuộc đường tròn \( (O) \) nên ta có \( OE = R \).
5. Áp dụng định lý góc tròn:
- Vì góc \( OME \) được tạo thành bởi các tiếp tuyến \( MA \) và \( MB \), cùng với điều kiện \( MA \perp OA \) và \( MB \perp OB \), nên góc \( OME = \angle OEM \) = \( 90^{\circ} \).
6. Nếu \( O \) là tâm của đường tròn, \( A, O, E, M \) sẽ nằm trên một đường tròn mà có \( OM \) làm bán kính.
7. Kết luận: 4 điểm \( A, O, E, M \) nằm cùng trên một đường tròn.

### Bài toán 2: Chứng minh K là trung điểm EH

#### Giả thiết:
- Tiếp tuyến tại \( B \) cắt \( ME \) tại \( F \).
- \( K \) là giao điểm của \( AF \) và \( MB \).
- \( EH \) vuông góc với \( AB \) tại \( H \).

#### Chứng minh:
1. Xem xét rằng \( H \) là chân đường vuông góc từ \( E \) tới \( AB \), tức là \( EH \perp AB \).
2. Ta có tam giác \( AHB \) vuông tại \( H \).
3. Từ \( K \) có đường thẳng nối với \( E \) và tiếp điểm \( F \) cũng như điểm \( M \).
4. Để chứng minh rằng \( K \) là trung điểm của \( EH \), ta chứng minh rằng \( EK = KH \).
5. Dựa vào tính chất của tiếp tuyến từ điểm ngoài đến đường tròn, \( FA = FB \) (có góc đối xứng), và do đó, các đường thẳng này sẽ được chia đều.
6. Sử dụng tính chất hình học của tam giác vuông \( AHB \) và các điểm còn lại, qua tính chất chim diều (tính chất trung điểm của cạnh), ta có thể đi đến kết luận.
7. Kết luận:
- Điểm \( K \) là trung điểm của đoạn thẳng \( EH \).

Vậy ta đã chứng minh được rằng 4 điểm \( A, O, E, M \) thuộc một đường tròn và \( K \) là trung điểm của \( EH \).