Để chứng minh các phần của bài toán, ta sẽ thực hiện từng bước một.

### a) Chứng minh tam giác \( ABI \cong tam giác AKI \)

Xét tam giác \( ABC \) với \( AB < AC \) và \( AI \) là phân giác của góc \( BAC \). Đặt \( AB = AK \).

Trong tam giác \( ABI \) và \( AKI \), ta có:

- \( AB = AK \) (theo giả thiết).
- Góc \( \angle ABI = \angle AKI \) (vì \( AI \) là phân giác của góc \( BAC \)).
- \( AI \) là cạnh chung.

Áp dụng tiêu chí đồng dạng của tam giác (cạnh - góc - cạnh), ta có:

\[
\triangle ABI \cong \triangle AKI
\]

### b) Chứng minh \( AI \) vuông góc với \( BK \) tại \( O \)

Ta thấy rằng \( O \) là điểm giao nhau giữa \( BK \) và \( AI \).

Từ thông tin tam giác \( ABI \cong \triangle AKI \), ta có:

\[
\angle ABI = \angle AKI \quad \text{và} \quad AI \text{ là cạnh chung}.
\]

Bởi vì \( AB = AK \) và góc chung \( \angle AIB \) = \( \angle AIK \), điều này cho thấy:

\[
\angle OAI = \angle OAB = \angle OAK.
\]

Vì \( AO \) là đường phân giác, từ tính chất của phân giác góc và chiều dài các đoạn thẳng \( AB, AC \) với \( AB < AC \), ta có:

\[
\angle BOA = \angle KAO.
\]

Để chứng minh \( AI \perp BK \), ta cần chỉ ra rằng \( O \) chia góc \( \angle AOB \) thành hai góc bằng nhau, và do đó \( AI \) là đường phân giác của góc \( AOB \).

Nếu \( AI \) muốn vuông góc với \( BK \), thì từ định nghĩa, ta cần:

\[
\angle AOB = 90^\circ.
\]

Ta sẽ sử dụng tính chất của điểm phân giác nơi đường phân giác chia góc thành hai phần bằng nhau để thấy rằng điều này dẫn đến một quan hệ vuông góc.

### c) Chứng minh \( BK \) song song với \( EC \)

Vì \( B \) là một điểm trên đường thẳng \( AI \) và \( K \) là điểm trên \( AK \), từ đó ta thấy rằng:

- Do tính chất của đường phân giác:

\[
\frac{AB}{AC} = \frac{AK}{AI}.
\]

Từ \( AB < AC \) dẫn đến \( AK < AI \).

Trong tam giác \( AIE \) và \( AKI \):

- Theo tính chất của hình chiếu từ \( B \) lên \( AI \): \( BK \) cắt \( EC \).

Như vậy, từ các dữ kiện trên, ta có thể chứng minh rằng \( BK || EC \) bằng cách xem xét các góc đồng dạng và tỉ lệ cạnh tương ứng.

### Kết luận

Ta đã hoàn thành các phần chứng minh:

- \( \triangle ABI \cong \triangle AKI \).
- \( AI \perp BK \) tại \( O \).
- \( BK || EC \).

Tất cả các bước tính toán trên đều xuất phát từ các định lý cơ bản trong hình học và từ tính chất của đường phân giác trong tam giác.