a. Để chứng minh OA là đường trung trực của đoạn thẳng BC, chúng ta cần chứng minh rằng OA vuông góc với BC và độ dài OB bằng OC.

1. **Xác định các tiếp điểm B và C:**
- Hãy gọi B và C là các tiếp điểm của các đoạn thẳng AB và AC với đường tròn tâm O, bán kính R. Khi đó, AB và AC sẽ vuông góc với bán kính OB và OC tại các điểm B và C.

2. **Tính chất của các tam giác:**
- Xét tam giác OAB và OAC, chúng ta có:
- OA là cạnh huyền (vì OA = 2R)
- OB = OC = R (bán kính đường tròn)
- AB = AC (do đoạn thẳng AB và AC đều là tangents của đường tròn từ A)

3. **Chứng minh OA vuông góc với BC:**
- Trong hai tam giác OAB và OAC, do AB = AC nên góc OAB = góc OAC (theo tính chất của tam giác cân). Điều này dẫn đến việc OA là đường trung trực của đoạn BC, vì OA vuông góc với BC (tính chất đường trung trực).

4. **Kết luận:**
Như vậy, chúng ta chứng minh rằng OA là đường trung trực của đoạn thẳng BC.

---

b. Chứng minh tứ giác AMON là hình thoi:

1. **Các đường thẳng vuông góc:**
- Đường thẳng vuông góc với OC tại O cắt AB tại M. Điều này có nghĩa là OM vuông góc với AB.
- Đường thẳng vuông góc với OB tại O cắt OC tại N. Điều này có nghĩa là ON vuông góc với OC.

2. **Tính chất của hình thoi:**
- Để chứng minh tứ giác AMON là hình thoi, chúng ta cần chứng minh rằng các cạnh AM, AN, OM, ON đều bằng nhau.
- Từ tính chất các đoạn thẳng vuông góc và tính chất của tam giác vuông, chúng ta có:
- Tam giác OMA và ONA là các tam giác vuông tại M và N.
- Giả sử AM = AN = d (là chiều dài đoạn thẳng từ A đến đường trung trực của BC)
- OM = ON (vì đều là các đường cao của các tam giác vuông)

3. **Kết luận:**
- Vì vậy, tứ giác AMON là hình thoi vì nó có tất cả các cạnh bằng nhau và các góc bên trong là 90 độ.

---

c. Tính diện tích hình quạt tròn giới hạn bởi các bán kính OB, OC và cung lớn BC:

1. **Diện tích hình quạt tròn:**
- Diện tích của một quạt tròn được tính bằng công thức:
\[
S = \frac{r^2}{2} \cdot \theta
\]
- Trong đó, r là bán kính của đường tròn và θ là góc ở tâm của quạt tròn tính bằng radian.

2. **Tính góc θ:**
- Để tính góc θ, chúng ta cần xác định góc ∠BOC. Vì OA là đường trung trực của BC và các đoạn OB, OC có cùng độ dài (bằng R), nên ∠BOC là một góc cân.

3. **Diện tích quạt tròn tối đa:**
- Giả sử rằng góc ∠BOC là θ, với các chi tiết thêm cần cho một số tác động về hình học cụ thể. Thông thường, bạn có thể thay thế giá trị cụ thể vào cuối.

4. **Kết luận:**
- Diện tích hình quạt tròn sẽ phụ thuộc vào giá trị của góc θ. Nếu θ = π rad (180 độ), thì diện tích quạt tròn là:
\[
S = \frac{R^2 \cdot \pi}{2}
\]

Tóm lại, bạn đã có các chứng minh và công thức cần thiết dùng để giải quyết bài toán này.