Tìm giá trị của tham số a để hàm số f(x)

Để hàm số \( f(x) \) liên tục tại điểm \( x = 1 \), ta cần kiểm tra tính liên tục tại điểm này. Điều này có nghĩa là phải có:

\[
\lim_{x \to 1^-} f(x) = \lim_{x \to 1^+} f(x) = f(1)
\]

1. **Tính \( f(1) \)**:

Dùng định nghĩa hàm cho \( x > 1 \):
\[
f(1) = \sqrt{1 - 1} = 0
\]

2. **Tính \( \lim_{x \to 1^-} f(x) \)**:

Khi \( x \to 1 \) từ trái (tức là \( x < 1 \)), ta dùng định nghĩa hàm cho \( x < 1 \):
\[
\lim_{x \to 1^-} f(x) = \lim_{x \to 1^-} \left( ax - \frac{1}{2} \right) = a \cdot 1 - \frac{1}{2} = a - \frac{1}{2}
\]

3. **Tính \( \lim_{x \to 1^+} f(x) \)**:

Khi \( x \to 1 \) từ phải (tức là \( x > 1 \)), ta cũng dùng định nghĩa hàm cho \( x > 1 \):
\[
\lim_{x \to 1^+} f(x) = \lim_{x \to 1^+} \sqrt{x - 1} = \sqrt{1 - 1} = 0
\]

4. **Để hàm liên tục tại \( x = 1 \)**, ta có điều kiện:
\[
a - \frac{1}{2} = 0
\]

Giải phương trình này:
\[
a = \frac{1}{2}
\]

Vậy, giá trị của tham số \( a \) để hàm số \( f(x) \) liên tục tại điểm \( x = 1 \) là \( a = \frac{1}{2} \).