Xét tính liên tục của hàm số

Để xét tính liên tục của hàm số \( f(x) \) đã cho, ta sẽ xem xét hàm tại điểm \( x_0 = \sqrt{3} \) mà tại điểm này hàm có khả năng không liên tục.

### Bước 1: Xác định hàm tại điểm \( x_0 = \sqrt{3} \)

Hàm số được định nghĩa như sau:

\[
f(x) =
\begin{cases}
\frac{x^4 - 9}{x - \sqrt{3}} & \text{nếu } x \neq \sqrt{3} \\
26 \sin \frac{7 \pi}{3} & \text{nếu } x = \sqrt{3}
\end{cases}
\]

### Bước 2: Tính \( \lim_{x \to \sqrt{3}} f(x) \)

Khi \( x \neq \sqrt{3} \), chúng ta tính giới hạn:

\[
\lim_{x \to \sqrt{3}} f(x) = \lim_{x \to \sqrt{3}} \frac{x^4 - 9}{x - \sqrt{3}}
\]

Ta có:

\[
x^4 - 9 = (x^2 - 3)(x^2 + 3)
\]

Vì vậy, khi \( x \to \sqrt{3} \):

\[
\lim_{x \to \sqrt{3}} f(x) = \lim_{x \to \sqrt{3}} \frac{(x^2 - 3)(x^2 + 3)}{x - \sqrt{3}} = \lim_{x \to \sqrt{3}} \frac{(x - \sqrt{3})(x + \sqrt{3})(x^2 + 3)}{x - \sqrt{3}} = \lim_{x \to \sqrt{3}} (x + \sqrt{3})(x^2 + 3)
\]

Thay \( x = \sqrt{3} \):

\[
= (2\sqrt{3})(3 + 3) = 2\sqrt{3} \cdot 6 = 12\sqrt{3}
\]

### Bước 3: Tính giá trị hàm tại \( x_0 = \sqrt{3} \)

Giá trị hàm tại điểm \( x_0 \) theo định nghĩa là:

\[
f(\sqrt{3}) = 26 \sin \frac{7 \pi}{3}
\]

\(\sin \frac{7 \pi}{3} = \sin \left( 2\pi + \frac{\pi}{3} \right) = \sin \frac{\pi}{3} = \frac{\sqrt{3}}{2}\)

Vậy:

\[
f(\sqrt{3}) = 26 \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} = 13\sqrt{3}
\]

### Bước 4: So sánh giới hạn và giá trị hàm

Chúng ta cần so sánh:

\[
\lim_{x \to \sqrt{3}} f(x) = 12\sqrt{3} \neq f(\sqrt{3}) = 13\sqrt{3}
\]

### Kết luận

Vì giới hạn và giá trị hàm tại \( x_0 = \sqrt{3} \) khác nhau, hàm số \( f(x) \) không liên tục tại \( x = \sqrt{3} \).

### Đáp án

Hàm \( f(x) \) không liên tục tại \( x = \sqrt{3} \).