Để giải bài toán, hãy thực hiện từng yêu cầu theo thứ tự.

### a) Chứng minh rằng \(\triangle AMB \cong \triangle DMC\) và \(AB = DC\)

1. **Chứng minh \(\triangle AMB \cong \triangle DMC\)**:
- Ta có \(M\) là trung điểm của \(BC\), nên \(MB = MC\).
- Theo giả thiết, \(MD = MA\).
- Do đó, có \(AM = DM\).
- Như vậy, trong hai tam giác \(\triangle AMB\) và \(\triangle DMC\), ta có:
- \(AM = DM\)
- \(MB = MC\)
- \(MA = MD\)
- Theo tiêu chí cạnh – cạnh – cạnh (CCC), ta có \(\triangle AMB \cong \triangle DMC\).

2. **Chứng minh \(AB = DC\)**:
- Từ sự đồng nhất vật lý của hai tam giác sau khi đã chứng minh, ta có:
- \(AB = DC\) từ đặc điểm đồng lập của hai tam giác.

### b) Chứng minh rằng \(BD \parallel AC\)

- Từ hai tam giác \(\triangle AMB\) và \(\triangle DMC\) đã chứng minh ở trên, chúng có các cặp góc tương ứng bằng nhau:
- \(\angle AMB = \angle DMC\)
- \(\angle ABM = \angle DCM\)

- Áp dụng tiêu chí góc-góc-góc (AAA) cho hai tam giác này, suy ra:
- \(BD\) song song với \(AC\), vì cún góc tương ứng.

### c) Chứng minh rằng ba điểm \(I\), \(M\), \(K\) thẳng hàng

1. **Vẽ đường thẳng vuông góc với \(AC\) tại \(I\)**:
- Từ kết quả trên, \(AC\) là một đường thẳng. Giả sử \(I\) nằm trên đường thẳng \(AC\).

2. **Vẽ đường thẳng vuông góc với \(BD\) tại \(K\)**:
- Do \(BD\) và \(AC\) là song song, \(KD\) sẽ vuông góc với \(BD\) tại \(K\).

3. **Chiều hướng mối liên hệ**:
- Tại điểm \(M\) là trung điểm, cả hai đường thẳng \(IK\) và \(MK\) nằm trên cùng một đường thẳng, bởi vì \(M\) là giao điểm của hai đường vuông góc này (các góc vuông với các đường thẳng song song).

- Từ đó, ta có thể kết luận rằng điểm \(I\), \(M\), và \(K\) thẳng hàng.

### Kết luận:
- Thông qua ba bước trên, chúng ta đã chứng minh được các yêu cầu của bài toán là đúng.

Hy vọng rằng hướng dẫn này có thể giúp bạn giải quyết bài tập một cách hiệu quả!