Để giải bài toán này, ta sẽ sử dụng các biến số để đại diện cho số phòng ở mỗi tầng:

- Gọi số phòng ở tầng trệt là \( x \).
- Gọi số phòng ở lầu 1 là \( a \).
- Gọi số phòng ở lầu 2 là \( b \).
- Gọi số phòng ở lầu 3 là \( c \).
- Gọi số phòng ở lầu 4 là \( y \).

Theo dữ liệu bài toán, chúng ta có các phương trình sau:

1. Tổng số phòng trong lâu đài là 31:
\[ x + a + b + c + y = 31 \]

2. Số phòng ở tầng trệt (x) ít hơn số phòng ở tầng trên (tức là ở lầu 1, lầu 2, lầu 3, lầu 4):
\[ x < a + b + c + y \]

3. Số phòng ở lầu 4 gấp 3 lần số phòng ở tầng trệt:
\[ y = 3x \]

Bây giờ, ta thay \( y \) vào phương trình tổng số phòng:

\[ x + a + b + c + 3x = 31 \]

Biến đổi phương trình này thành:

\[ 4x + a + b + c = 31 \]

Tiếp theo, từ phương trình \( x < a + b + c + y \), ta thay \( y \):

\[ x < a + b + c + 3x \]

Điều này có thể được sắp xếp lại thành:

\[ 0 < a + b + c + 2x \Rightarrow a + b + c > -2x \] (Điều này luôn đúng vì \( a, b, c, x \geq 0\))

Chúng ta cũng có thể kết hợp phương trình \( a + b + c = 31 - 4x \) vào điều kiện:

\[ a + b + c > -2x \]

Giờ đây, ta sẽ thực hiện thử nghiệm cho các giá trị của \( x \) (số phòng ở tầng trệt).

Nếu \( x = 1 \):
\[
y = 3 \cdot 1 = 3 \Rightarrow a + b + c = 31 - 4 \cdot 1 = 27
\]

Nếu \( x = 2 \):
\[
y = 3 \cdot 2 = 6 \Rightarrow a + b + c = 31 - 4 \cdot 2 = 23
\]

Nếu \( x = 3 \):
\[
y = 3 \cdot 3 = 9 \Rightarrow a + b + c = 31 - 4 \cdot 3 = 19
\]

Nếu \( x = 4 \):
\[
y = 3 \cdot 4 = 12 \Rightarrow a + b + c = 31 - 4 \cdot 4 = 15
\]

Nếu \( x = 5 \):
\[
y = 3 \cdot 5 = 15 \Rightarrow a + b + c = 31 - 4 \cdot 5 = 11
\]

Nếu \( x = 6 \):
\[
y = 3 \cdot 6 = 18 \Rightarrow a + b + c = 31 - 4 \cdot 6 = 7
\]

Nếu \( x = 7 \):
\[
y = 3 \cdot 7 = 21 \Rightarrow a + b + c = 31 - 4 \cdot 7 = 3
\]

Nếu \( x = 8 \):
\[
y = 3 \cdot 8 = 24 \Rightarrow a + b + c = 31 - 4 \cdot 8 = -1 \text{ (không hợp lệ)}
\]

Như vậy, các giá trị hợp lệ cho \( x \) từ 1 đến 7.

Giờ ta cần tìm ra một giá trị cho \( a, b, c \) sao cho \( a + b + c = N \) và số phòng ở tầng trệt (x) nhỏ hơn tổng số phòng các tầng trên (lầu 1, 2, 3, 4).

Trong mỗi trường hợp của \( x \), chúng ta có \( y \) và \( a + b + c \). Dễ dàng nhận thấy rằng một trong những cách phân chia \( a, b, c \) sao cho \( x < a + b + c \).

Nếu \( x = 4, y = 12, a + b + c = 15 \):
- Giả sử \( a = 5, b = 5, c = 5 \) => \( b + c = 10 > 4 \) => thỏa mãn
- Kết quả cuối cùng: lầu 3 có 5 phòng.

Vậy tầng 3 của lâu đài có **5 phòng**.