Để chứng minh các kết luận trong bài toán này, ta cần vẽ hình và sử dụng tính chất của các tứ giác cũng như một số định lý trong hình học.

**Vẽ hình:**
1. Vẽ tam giác vuông ABC tại A.
2. Gọi M là trung điểm của cạnh AC. (M nằm giữa A và C)
3. Vẽ tia MB và tìm điểm D trên tia đối của MB sao cho M là trung điểm của đoạn thẳng BD.
4. Gọi N là điểm đối xứng với B qua A.

**Chứng minh các kết luận:**

**a) Chứng minh tứ giác ABCD là hình bình hành.**

- Ta biết rằng M là trung điểm của AC và D được xác định sao cho M là trung điểm của BD.
- Ta có: BM = MD (vì M là trung điểm của BD), và M cũng là trung điểm của AC.
- Vậy ta có các đoạn thẳng AB và CD đều bằng nhau, và MD song song với AC vì chúng đều nằm trên cùng một đường thẳng.
- Từ đó, ta suy ra ABCD là hình bình hành (bởi vì có hai cặp cạnh đối bằng nhau và song song với nhau).

**b) Gọi N là điểm đối xứng với B qua A. Chứng minh tứ giác ACDN là hình chữ nhật.**

- Dễ dàng thấy rằng A là trung điểm của BD và N là điểm đối xứng với B qua A.
- Vì vậy, ta có AN = AB (cạnh đối diện) và CD = AC.
- Chúng ta cũng có AN vuông góc với AC (vì A là trung điểm, và đoạn thẳng kết nối hai điểm đối xứng qua A luôn vuông góc với đoạn nối hai điểm đó).
- Tứ giác ACDN có bốn cạnh bằng nhau với 2 cặp cạnh đối diện bằng nhau và vuông góc. Do đó, ACDN là hình chữ nhật.

**c) Qua B kẻ đường thẳng song song với MN cắt AC tại E. Chứng minh tứ giác EBMN là hình thoi.**

- Gọi MN là đường thẳng nối M và N.
- Từ N, kẻ đường thẳng song song với MN cắt AC tại E.
- Khi đó, do MN // BE (điều kiện để EBMN trở thành hình thoi).
- Bây giờ chúng ta có cạnh BE = MN, AE = MB, với MA và EB đều song song.
- Mỗi phía của hình thoi là bằng nhau và song song với nhau, do đó tứ giác EBMN là hình thoi.

**Hình vẽ:**
Để vẽ hình, các bạn có thể làm như sau:
1. Vẽ tam giác vuông ABC với A tại gốc vuông.
2. Tìm M là trung điểm của AC.
3. Vẽ tia MB về phía đối diện và chọn D sao cho M là trung điểm của BD.
4. Tìm N là điểm đối xứng với B qua A và vẽ đường thẳng qua B song song với MN cắt AC tại E.

Như vậy, bạn đã hoàn thành ba phần chứng minh theo yêu cầu.