Để giải bài toán này, ta cần một số khái niệm cơ bản về hình học và tính chất của các tam giác.

1. **Tam giác ABC nhọn**: Trong tam giác ABC, BE và CF là các đường cao, với E và F lần lượt nằm trên cạnh AC và AB. H là điểm giao nhau của các đường cao BE và CF.

2. **I là trung điểm của BC**: Khi I là trung điểm của cạnh BC, điều này có nghĩa là BI = IC = \(\frac{a}{2}\), với a là độ dài của cạnh BC.

3. **Kẻ đường thẳng qua H vuông góc với HI**: Khi chúng ta kẻ một đường thẳng vuông góc với HI và cắt AB tại M và AC tại N, chúng ta nhận thấy rằng các điểm M, N sẽ có những mối quan hệ đặc biệt dựa vào hình hình học của tam giác.

4. **Tính EF theo a**: Để tính EF (độ dài đoạn thẳng từ E tới F), chúng ta cần xem xét chu vi hình chữ nhật được tạo ra bởi các điểm M và N.

Do tam giác ABC là tam giác nhọn, điểm H sẽ nằm bên trong tam giác, và đường thẳng MN mà ta vừa kẻ sẽ tạo thành hình chữ nhật với các đoạn thẳng BM và CN.

Giá trị EF không dễ dàng xác định chỉ với các kiến thức sơ bộ mà không có những thông tin thêm về vị trí và tỷ lệ của các điểm M và N so với các vị trí của A, B, C. Thông thường trong hình học phẳng, để tính được đoạn thẳng EF dựa trên cạnh a (BC), ta cần sử dụng định lý Pythagore, cũng như các tính chất đối xứng trong tam giác vuông và các tỉ lệ trong các tam giác nhỏ hơn.

Tóm lại, để có thể tính được EF theo a mà không có các thông tin cụ thể hơn về góc hoặc tỷ lệ cụ thể giữa các cạnh, ta không thể đưa ra một biểu thức chính xác cho EF. Tuy nhiên, với các thông tin và gợi ý hợp lý, có thể xây dựng được mối quan hệ giữa EF và cạnh BC.

Nếu bạn có thêm dữ liệu hoặc thông tin cụ thể khác từ bài toán, vui lòng cung cấp để tôi có thể hỗ trợ tính được giá trị EF theo a một cách chính xác hơn.