Để chứng minh các phần yêu cầu trong bài toán về hình thang vuông ABCD, ta sẽ lần lượt thực hiện từng phần theo yêu cầu.

### a. Chứng minh ABHD là hình vuông

1. Ta có hình thang vuông ABCD với \( \angle A = \angle D = 90^\circ \) và \( AB = AD = \frac{1}{2}CD \).
2. Gọi \( CD = x \), thì \( AB = AD = \frac{1}{2}x \).
3. Ta nhận thấy rằng:
- \( AB \) và \( AD \) cùng độ dài và vuông góc với \( CD \).
- Vì \( AB \) và \( AD \) cùng song song với nhau (do BC và AD song song) và đều vuông góc với \( CD \).
4. Kẻ BH vuông góc CD, do đó \( BH \) cũng vuông góc với \( CD \).
5. Từ các giả thiết này, ta có:
- \( AB = AD \)
- \( \angle AHB = 90^\circ \)
- \( AH = BH \)
6. Do \( AB = AD \) và \( AH = BH \), ta có tứ giác \( ABHD \) có tất cả các cạnh bằng nhau và các góc vuông (bốn góc đều là \( 90^\circ \)).
7. Kết luận: Tứ giác \( ABHD \) là hình vuông.

### b. Gọi M là trung điểm BH, chứng minh A đối xứng với C qua M

1. Xét trung điểm \( M \) của đoạn thẳng \( BH \), ta có:
- \( AM = \frac{AB}{2} = \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{2}CD = \frac{1}{4}CD \)
- \( CM = \frac{CH}{2} = \frac{1}{2}CD \)
2. Từ các đặc điểm trên, ta nhận thấy:
- Từ điểm \( A \) đến \( M \) là một vectơ \(\vec{AM}\) và từ điểm \( C \) đến \( M \) là vectơ \(\vec{CM}\).
- Vì \( M \) là trung điểm nên \( AM = CM \).
3. Kết luận: Điểm \( A \) là đối xứng với điểm \( C \) qua điểm \( M \).

### c. Kẻ DI vuông góc AC. AH cắt DI, DM tại P và Q chứng minh DPBQ là hình thoi

1. Kẻ DI vuông góc với AC, từ đó có \( \angle DIC = 90^\circ \).
2. Đặt \( H \) là một điểm trên \( AI \) sao cho \( \angle AHB = 90^\circ \).
3. Từ đó, ta biết:
- \( DP = DQ \) vì \( DI \) là phân giác và vuông góc với AC.
- Từ tính chất của hình thoi, ta có \( DP = PB \) và \( DQ = QB \).
4. Khi đó, tứ giác \( DPBQ \) có hai cặp cạnh đối diện đồng dài và các góc kề nhau bằng nhau:
- \( DP = DQ \) và \( PB = QB \)
5. Kết luận: Tứ giác \( DPBQ \) là hình thoi.

Tóm lại, với các chứng minh cho từng phần đã rõ, ta có thể kết luận tứ giác sở hữu các tính chất của hình vuông và hình thoi theo yêu cầu đề bài.