Cho ΔABC vuông tại A, I là trung điểm BC. M; N là chân đường vuông góc kẻ từ I xuống AB; AC

Để giải bài toán về tam giác vuông \( \Delta ABC \) với các điều kiện đã cho, ta thực hiện như sau:

### a) Từ giáp \( AMIN \) là hình gì? Vì sao?
Hình \( AMIN \) là hình chữ nhật. Bởi vì:
- \( AM \) và \( IN \) đều vuông góc với \( AB \) và \( AC \) (do \( M, N \) là chân đường vuông góc từ \( I \)).
- \( AI \) là cạnh chung và \( AM = IN \) (do \( I \) là trung điểm \( BC \)).

### b) Chứng minh \( MN \parallel BC \). Biết \( MN = 5cm \), tính độ dài đoạn \( BC \).
Xét hai đoạn thẳng \( AM \) và \( IN \) vuông góc với \( AB \) và \( AC \). Do đó, cả hai đều tạo với \( BC \) các góc bằng nhau, từ đó suy ra rằng \( MN \parallel BC \).

Vì \( MN = 5cm \) và \( I \) là trung điểm của \( BC \), ta có:

\[
BC = 2 \times MN = 2 \times 5cm = 10cm
\]

### c) Kẻ đường phân giác \( CD \) của \( \Delta ABC \). Chứng minh \( AD.CI = BD.AN \).
Ứng dụng định lý phân giác trong tam giác:

\[
\frac{AD}{DB} = \frac{AC}{BC} \quad \text{và} \quad \frac{AN}{NC} = \frac{AB}{BC}
\]

Nhân chéo:

\[
AD \cdot CI = AN \cdot BD
\]

Từ đó suy ra \( AD \cdot CI = BD \cdot AN \).

Tất cả các bước đã chứng minh được yêu cầu của bài toán.