Chúng ta sẽ thực hiện từng phần một theo yêu cầu.

### a) Tính giá trị của biểu thức P khi x = 2:

Biểu thức \( P \) được cho là:
\[
P = \frac{x^2 + x}{x + 3}
\]

Thay \( x = 2 \):
\[
P = \frac{2^2 + 2}{2 + 3} = \frac{4 + 2}{5} = \frac{6}{5}
\]

### b) Rút gọn biểu thức Q:

Biểu thức \( Q \) được cho là:
\[
Q = \frac{1}{x - 1} + \frac{1}{x + 1} - \frac{3 - x}{x^2 - 1}
\]

Trước tiên, ta sẽ rút gọn \( \frac{3 - x}{x^2 - 1} \). Nhận thấy rằng \( x^2 - 1 = (x - 1)(x + 1) \).

Ta có:
\[
Q = \frac{1}{x - 1} + \frac{1}{x + 1} - \frac{3 - x}{(x - 1)(x + 1)}
\]

Đưa tất cả về cùng mẫu:
\[
Q = \frac{(x + 1) + (x - 1) - (3 - x)}{(x - 1)(x + 1)}
\]
\[
= \frac{x + 1 + x - 1 - 3 + x}{(x - 1)(x + 1)} = \frac{3x - 3}{(x - 1)(x + 1)}
\]
\[
= \frac{3(x - 1)}{(x - 1)(x + 1)} = \frac{3}{x + 1} \quad (x \neq 1)
\]

### c) Đặt \( M = P \cdot Q \) và tìm các giá trị của x để \( |M| = \frac{3}{2} \):

Biểu thức \( M \) sẽ là:
\[
M = P \cdot Q = \frac{6}{5} \cdot \frac{3}{x + 1} = \frac{18}{5(x + 1)}
\]

Giải bất phương trình:
\[
\left| \frac{18}{5(x + 1)} \right| = \frac{3}{2}
\]

Hệ này có thể phân tích thành hai trường hợp:
1. \( \frac{18}{5(x + 1)} = \frac{3}{2} \)
2. \( \frac{18}{5(x + 1)} = -\frac{3}{2} \)

Giải từng trường hợp:

**Trường hợp 1**:
\[
\frac{18}{5(x + 1)} = \frac{3}{2} \implies 18 \cdot 2 = 3 \cdot 5(x + 1) \implies 36 = 15(x + 1) \implies 15x + 15 = 36 \implies 15x = 21 \implies x = \frac{21}{15} = \frac{7}{5}
\]

**Trường hợp 2**:
\[
\frac{18}{5(x + 1)} = -\frac{3}{2} \implies 18 \cdot (-2) = -3 \cdot 5(x + 1) \implies -36 = -15(x + 1) \implies 15x + 15 = 36 \implies 15x = 21 \implies x = \frac{21}{15} = \frac{7}{5}
\]

Vì vậy, không có giá trị nào thuộc vào tập hợp các số nguyên \( N \).

### d) Tìm giá trị nhỏ nhất của M với \( x \) thuộc \( N \):

Chúng ta có biểu thức:
\[
M = \frac{18}{5(x + 1)}
\]
Giá trị này sẽ giảm khi \( x + 1 \) tăng. Do đó, giá trị nhỏ nhất của \( M \) sẽ xảy ra khi \( x \) là nhỏ nhất.

Với \( x \) thuộc \( N \) (tập hợp số tự nhiên, tức là \( x = 0, 1, 2, ... \)):
- Chọn \( x = 0 \):
\[
M = \frac{18}{5(0 + 1)} = \frac{18}{5}
\]

- Chọn \( x = 1 \):
\[
M = \frac{18}{5(1 + 1)} = \frac{18}{10} = \frac{9}{5}
\]

- Chọn \( x = 2 \):
\[
M = \frac{18}{5(2 + 1)} = \frac{18}{15} = \frac{6}{5}
\]

Theo hình thức này, khi \( x \) tăng thì \( M \) giảm và đạt giá trị nhỏ nhất tại \( x = 0 \), do đó, giá trị nhỏ nhất của \( M \) là:
\[
\text{Giá trị nhỏ nhất của } M = \frac{18}{5}.
\]