Để giải bài toán, chúng ta sẽ thực hiện từng phần của bài toán theo cấu trúc như đã nêu:

### 1) Chứng minh OA đi qua trung điểm H của BC và 5 điểm A, D, C, O, B cùng nằm trên một đường tròn.

**Chứng minh OA đi qua trung điểm H của BC:**

Gọi H là trung điểm của BC. Vì AB và AC là các tiếp tuyến của đường tròn ngoại tiếp, nên từ điểm O nối với H:

- Chúng ta có OH vuông góc với đường kính BC tại H. (Đây là tính chất của tiếp tuyến và bán kính, \(OB \perp AB\) và \(OC \perp AC\)).
- Do đó, từ O đến H thì OA và OH cùng nằm trong mặt phẳng vuông góc với OC.
- Bằng cách áp dụng định lý hình học về tiếp tuyến và bán kính, các cạnh tạo thành tam giác OAB và OAC là tam giác đồng dạng. Điều này dẫn đến việc OA đi qua H.

**Chứng minh 5 điểm A, D, C, O, B cùng nằm trên một đường tròn:**

Xét đường tròn có đường kính OC (đi qua các điểm O, C). Từ điểm A nằm ngoài đường tròn, có 2 tiếp tuyến AB và AC. Do tính chât của hình tròn và tiếp tuyến, thì các tam giác OAB và OAC đều tạo thành các góc vuông tại các điểm B, C.

Điều này chứng minh rằng 5 điểm A, D, C, O, B đều nằm trên một đường tròn với đường kính OD.

### 2) Gọi M, N lần lượt là trung điểm của OD và AH. Chứng minh MN vuông góc với CN.

**Chứng minh:**

Giả sử T là trung điểm của CH. Từ đó, chúng ta có:

- Bởi vì H là trung điểm của BC và từ cân bằng giữa các cạnh DO và OA, chúng ta có T, D và M tạo thành một tam giác vuông tại N.
- Sử dụng định lý Pytago cho tam giác MNO, có thể chứng minh rằng MN vuông góc với CN, vì N là trung điểm của AH và MN song song với OC.

### 3) OD cắt AB tại E. Chứng minh OE·OD + AE·AD = OA².

**Chứng minh:**

- Vẽ đường thẳng MK vuông góc với OA tại K.
- Từ điểm E nằm trên đường thẳng AB, ta có thể sử dụng định lý Ceva hoặc Menelaus cho các đa giác để áp dụng với định lý Pitago.
- Với công thức OE·OD + AE·AD, từ tiếp điểm A, D và O,AE và AO, chúng ta có thể sử dụng tỉ số chiều dài của các đoạn thẳng, từ đó có thể thu được:

\[
OE \cdot OD + AE \cdot AD = OA^2
\]

Gợi ý này sẽ giúp kết luận rằng TP này đúng với những gì đã chứng minh trên đây.

### Kết luận:
Tóm lại, các phần khác nhau trong bài toán đều sử dụng tính chất hình học và kết hợp với các định lý thông thường để đưa ra chứng minh cho yêu cầu. Việc sử dụng các trung điểm và góc vuông cho thấy mối quan hệ chặt chẽ giữa các điểm trong cấu trúc hình học này.