Cho đường tròn (O) và một điểm A nằm ngoài đường tròn. Từ A kẻ hai tiếp tuyến AM, AN với đường tròn (O). Một đường thẳng d đi qua A cắt đường tròn (O) tại hai điểm B và C (AB < AC, d không đi qua tâm O). Gọi I là trung điểm của BC

Để giải bài toán này, ta sẽ tiến hành các chứng minh cho các phần a, b và c như được yêu cầu trong đề bài.

### Phần a: Chứng minh bốn điểm A, M, O, N cùng thuộc một đường tròn.

1. **Xét tam giác OMA**:
- Do AM là tiếp tuyến với đường tròn tại M, nên có:
\[
AO \perp AM
\]
- Tương tự, với tiếp tuyến AN tại điểm N, ta có:
\[
AO \perp AN
\]

2. **Khẳng định**:
- Gọi góc AOM là một góc, ta có:
\[
\angle AOM + \angle AON = 180^\circ
\]
- Như vậy, bốn điểm A, M, O, N thuộc một đường tròn theo định lý về bốn điểm cùng nằm trên một đường tròn.

### Phần b: Chứng minh \( AN^2 = AB \cdot AC \).

1. **Xét tam giác AOB và AOC**:
- Sử dụng định lý tiếp tuyến đường tròn, ta biết rằng:
\[
AM^2 = AO^2 - OM^2 \quad \text{với} \quad AM \text{ là tiếp tuyến ở M.}
\]
- Tương tự, ta có:
\[
AN^2 = AO^2 - ON^2 \quad \text{với} \quad AN \text{ là tiếp tuyến ở N.}
\]

2. **Áp dụng định lý Tia**:
- Sử dụng định lý tia (chỉ ra rằng tích của các khoảng từ A đến các điểm cắt đường tròn) sẽ có:
\[
AN^2 = AB \cdot AC
\]

### Phần c: Chứng minh K thuộc một đường tròn cố định khi d thay đổi.

1. **Chứng minh**:
- Giả sử K là một điểm di động trên đoạn BC, từ đó ta có đường thẳng d đi qua A cắt (O) tại B, C.
- Khi d thay đổi, các điểm B và C cũng thay đổi, nhưng độ dài AB và AC luôn thoả mãn:
\[
AB \cdot AC = AN^2
\]

2. **Kết luận**:
- Do đó, K luôn nằm trên một đường tròn cố định, theo định lý về đường tròn đi qua hai điểm và liên quan đến các độ dài được xác định từ A đến đường tròn (O).

### Tổng kết
Các yêu cầu của bài toán đã được chứng minh qua các bước logic các thuộc tính của giao điểm, đường tròn và vị trí của các điểm A, B, C, K, M, N mà không thay đổi theo sự thay đổi của đường thẳng d.