Để giải bài toán này, ta sẽ thực hiện từng câu hỏi một.

### a) Tìm \( m \) để đồ thị hàm số đi qua điểm \( A(1, 6) \)

Đồ thị hàm số đã cho là:

\[
y = (m - 4)x + 4
\]

Chúng ta cần tìm \( m \) sao cho khi \( x = 1 \), \( y = 6 \).

Thay \( x = 1 \) vào phương trình:

\[
6 = (m - 4) \cdot 1 + 4
\]

Giải phương trình này:

\[
6 = m - 4 + 4
\]
\[
6 = m
\]

Vậy \( m = 6 \).

### b) Vẽ đồ thị hàm số với \( m \) vừa tìm được ở câu a)

Khi \( m = 6 \), hàm số trở thành:

\[
y = (6 - 4)x + 4 = 2x + 4
\]

Để vẽ đồ thị, ta có thể xác định một số điểm:

- Khi \( x = 0 \):

\[
y = 2 \cdot 0 + 4 = 4 \quad \Rightarrow \quad (0, 4)
\]

- Khi \( x = 1 \):

\[
y = 2 \cdot 1 + 4 = 6 \quad \Rightarrow \quad (1, 6)
\]

- Khi \( x = -2 \):

\[
y = 2 \cdot (-2) + 4 = 0 \quad \Rightarrow \quad (-2, 0)
\]

Dựa vào các điểm này, ta có thể vẽ đường thẳng \( y = 2x + 4 \).

### c) Tìm \( m \) để đường thẳng (d) song song với đường thẳng đã cho

Một đường thẳng có dạng tổng quát:

\[
y = kx + b
\]

Đồ thị hàm số trên có hệ số góc là \( m - 4 \). Để đường thẳng song song với một đường thẳng khác, hai hệ số góc phải bằng nhau. Giả sử đường thẳng đã cho có hệ số góc là \( k \), thì ta có:

\[
m - 4 = k
\]

Giải phương trình này:

\[
m = k + 4
\]

Tùy thuộc vào giá trị của \( k \), ta sẽ có các giá trị tương ứng cho \( m \).

### d) Chứng minh rằng với mọi giá trị của \( m \) thì đồ thị của các hàm số sau luôn đi qua một điểm cố định

Chúng ta sẽ xem xét hàm số:

\[
y = (m - 4)x + 4
\]

Ta có thể thấy rằng:
- Khi \( x = 0 \):

\[
y = 4
\]

Điểm cố định này là \( (0, 4) \).

Do đó, bất kể giá trị cụ thể của \( m \) (với điều kiện \( m \neq 4 \)), thì đường thẳng luôn đi qua điểm \( (0, 4) \), chứng tỏ rằng đồ thị của hàm số đã cho luôn đi qua mặt phẳng tại điểm này.

Kết luận:
- Điểm cố định mà đồ thị hàm số luôn đi qua là \( (0, 4) \).