Để chứng minh các kết luận trong bài toán về tam giác ABC với AB = AC và phân giác AD, ta sẽ tiến hành từng phần.

### a) Chứng minh \( DB = DC \)

1. **Cho tam giác ABC có AB = AC**, do đó tam giác ABC là tam giác cân tại A. Đương nhiên, AD là phân giác của góc A.

2. **Theo định lý về phân giác trong tam giác**, ta có:
\[
\frac{BD}{DC} = \frac{AB}{AC}
\]
Vì \( AB = AC \), ta có:
\[
\frac{BD}{DC} = 1 \quad \Rightarrow \quad BD = DC
\]

Như vậy, ta đã chứng minh rằng \( DB = DC \).

### b) Chứng minh \( AK \parallel BC \)

1. **Gọi AE là tia đối của tia AB**. Tia CK là tia phân giác của góc CAE.

2. **Xét góc CAE**:
- Góc CAB (khác với góc CAE) và góc DAB đều bằng nhau tại điểm A.
- Khi phân giác CK chia góc CAE, thì có:
\[
\angle DAB = \angle KAC
\]

3. **Tính chất về góc tương ứng**:
- Bởi đây là một tam giác cân, ta có:
\[
\angle ACB = \angle ABC.
\]
- Từ đó, góc CAB và góc ACB đều bằng nhau, tức là có tính đối xứng.

4. **Chứng minh hai đường thẳng AK và BC song song**:
- Từ các góc tương ứng đã chỉ ra, ta có:
\[
\angle AKC = \angle ABC \quad \text{và} \quad \angle AKE = \angle ACB.
\]
- Do đó, theo định nghĩa đường thẳng song song, nếu một góc nội tiếp đồng vị thì hai đường thẳng AK và BC là song song:
\[
AK \parallel BC.
\]

Vậy chúng ta đã chứng minh \( AK \parallel BC \).

Tóm lại, chúng ta đã chứng minh được cả hai phần a) và b) của bài toán.