Hình phẳng được tô màu trong hình vẽ đã cho giới hạn bởi bốn đường \(y = {e^x}\), trục hoành và hai đường thẳng \(x = - 1\), \(x = 1\). Diện tích hình phẳng này là \[S = \int\limits_{ - 1}^1 {\left| {{{\rm{e}}^x}} \right|} \,{\rm{d}}x = \int\limits_{ - 1}^1 {{{\rm{e}}^x}} \,{\rm{d}}x\].

Ta có \(S = \int\limits_{ - 1}^1 {{{\rm{e}}^x}} \,{\rm{d}}x = \left. {{{\rm{e}}^x}} \right|_{ - 1}^1 = {\rm{e}} - \frac{1}{{\rm{e}}}\).

Thể tích khối tròn xoay khi quay hình phẳng đó quanh trục \(Ox\) là:

\[V = \pi \int\limits_{ - 1}^1 {{{\left( {{e^x}} \right)}^2}{\rm{d}}x} = \pi \int\limits_{ - 1}^1 {{e^{2x}}{\rm{d}}x = } \pi \left( {\left. {\frac{1}{2}{e^{2x}}} \right|_{ - 1}^1} \right) = \frac{1}{2}\pi \left( {{e^2} - \frac{1}{{{e^2}}}} \right)\].

Đáp án:       a) Sai,                    b) Sai,                   c) Đúng,      d) Đúng.