Cho một tam giác đều ABC cạnh 6 cm. Người ta dựng một hình chữ nhật MNPQ có cạnh MN nằm trên cạnh BC, hai đỉnh P và Q theo thứ tự nằm trên hai cạnh AC và AB của tam giác. Xác định giá trị lớn nhất của diện tích hình chữ nhật đó?

Để giải bài toán này, ta sẽ tìm diện tích của hình chữ nhật \( MNPQ \) nằm trong tam giác đều \( ABC \) với cạnh \( 6 \, \text{cm} \).

1. **Tính chiều cao của tam giác đều \( ABC \)**:
Chiều cao \( h \) của tam giác đều có công thức:

\[
h = \frac{\sqrt{3}}{2} \times a
\]

Với \( a = 6 \, \text{cm} \):

\[
h = \frac{\sqrt{3}}{2} \times 6 = 3\sqrt{3} \, \text{cm}
\]

2. **Thiết lập hệ trục**:
Giả sử điểm \( B \) nằm tại \( (0, 0) \), điểm \( C \) tại \( (6, 0) \), và điểm \( A \) ở trên trục \( y \) tại \( (3, 3\sqrt{3}) \).

3. **Tìm phương trình của các cạnh \( AC \) và \( AB \)**:
- Phương trình của đường thẳng \( AC \) có độ dốc:

\[
\text{Độ dốc} = \frac{3\sqrt{3} - 0}{3 - 6} = -\sqrt{3}
\]
Do đó, phương trình là:

\[
y = -\sqrt{3}x + 3\sqrt{3}
\]

- Phương trình của đường thẳng \( AB \) có độ dốc:

\[
\text{Độ dốc} = \frac{3\sqrt{3} - 0}{3 - 0} = \sqrt{3}
\]
Do đó, phương trình là:

\[
y = \sqrt{3}x
\]

4. **Tính diện tích hình chữ nhật \( MNPQ \)**:
- Gọi chiều dài của hình chữ nhật là \( MN = x \) (nằm trên đoạn \( BC \)).
- Chiều cao của hình chữ nhật là độ cao từ \( MN \) đến các đường thẳng \( AC \) và \( AB \).

Khi \( MN \) cách đáy \( BC \) một khoảng \( y \), diện tích hình chữ nhật được tính là:

\[
S = MN \times h
\]
với \( h = y \).

5. **Tính giá trị tối đa của \( S \)**:
- Ta có mối quan hệ giữa \( MN \) và chiều cao \( y \):

\[
y = \sqrt{3}x \quad (\text{trên } AB)
\]
\[
y = -\sqrt{3}x + 3\sqrt{3} \quad (\text{trên } AC)
\]

Giá trị của \( y \) từ cả 2 đường thẳng nên ta sẽ lấy:

\[
\sqrt{3} x = -\sqrt{3} x + 3\sqrt{3}
\]

Giải phương trình:

\[
2\sqrt{3} x = 3\sqrt{3} \implies x = \frac{3}{2}
\]

Thay vào để tính \( y \):

\[
y = \sqrt{3} \cdot \frac{3}{2} = \frac{3\sqrt{3}}{2}
\]

Tính giá trị diện tích:

\[
S = x \cdot y = \frac{3}{2} \cdot \frac{3\sqrt{3}}{2} = \frac{9\sqrt{3}}{4} \, \text{cm}^2
\]

6. **Tổng kết**:
Diện tích lớn nhất của hình chữ nhật \( MNPQ \) là:

\[
S_{max} = \frac{9\sqrt{3}}{4} \, \text{cm}^2
\]

Vậy, diện tích lớn nhất của hình chữ nhật đó là \( \frac{9\sqrt{3}}{4} \, \text{cm}^2 \).