Để chứng minh rằng \( a^n + b^n + c^n + d^n \) là hợp số, với \( a, b, c, d, n \in \mathbb{N} \) và \( ab = cd \), ta có thể làm như sau:

1. **Sử dụng điều kiện \( ab = cd \)**: Điều này cho thấy rằng sản phẩm của \( a \) và \( b \) bằng sản phẩm của \( c \) và \( d \).

2. **Tính \( a^n + b^n + c^n + d^n \)**:
- Chúng ta sẽ nhóm các số hạng sao cho dễ phân tích hơn.
- Ta có thể viết lại như sau:
\[
a^n + b^n + c^n + d^n = a^n + b^n + c^n + d^n
\]

3. **Sử dụng tính đối xứng**:
- Ta biết rằng nếu \( n \) là số nguyên dương, với các số \( x \) và \( y \) thì \( x^n + y^n \) luôn lớn hơn hoặc bằng \( 2xy \) (dựa vào bất đẳng thức AM-GM).
- Do đó, \( a^n + b^n \geq 2ab \) và \( c^n + d^n \geq 2cd \).

4. **Áp dụng điều kiện \( ab = cd \)**:
- Ta nhận thấy rằng:
\[
a^n + b^n + c^n + d^n \geq 2ab + 2cd = 4ab
\]
- Điều này cho thấy rằng nếu \( ab > 1 \), thì \( 4ab \) là một số nguyên dương lớn hơn \( 4 \), tức là nó có thể được chia hết cho \( 2 \) và \( 4 \).

5. **Kết luận**:
- Như vậy, nếu ít nhất một trong các số \( a, b, c, d \) lớn hơn 1, thì \( a^n + b^n + c^n + d^n \) sẽ lớn hơn 4 và đồng thời chia hết cho 2, từ đó chứng minh được rằng biểu thức này là hợp số.

- Nếu một trong các số bằng \( 0 \) hay \( 1 \), ta vẫn có thể xem xét từng trường hợp cụ thể để chắc chắn rằng biểu thức vẫn là hợp số.

Vậy nên, với điều kiện cho trước, \( a^n + b^n + c^n + d^n \) là hợp số.