Cho tam giác ABC. Trên các cạnh AB, BC, lần lượt lấy các điểm P, M, N sao cho

Để chứng minh tỉ lệ diện tích trong tam giác ABC như trong bài toán, ta cần sử dụng định lý về diện tích của các tam giác trong tam giác lớn.

**Giả sử các điểm P, M, N được chọn như sau:**

- \( NA = \frac{1}{3} CA \) và \( PB = \frac{1}{3} AB \)
- \( MC = \frac{1}{3} BC \)

Khi nối AM, BN và CP, chúng ta có các tam giác nhỏ bên trong tam giác ABC.

**Ta cần chứng minh:**
\[
S_{IEK} = S_{KMC} + S_{INA} + S_{SEB}
\]

**Bước 1: Tính diện tích các tam giác nhỏ**
- Diện tích của tam giác ABC có thể tính bằng công thức \( S_{ABC} = \frac{1}{2} \cdot AB \cdot AC \cdot \sin A \).
- Diện tích các tam giác nhỏ \( S_{INA}, S_{KMC}, S_{SEB} \) có thể được tính tương tự, với các cạnh tương ứng và góc chung.

**Bước 2: Sử dụng tỉ lệ độ dài**
- Do các điểm P, M, N chia các cạnh AB, BC, CA theo tỉ lệ, chúng ta có thể sử dụng tỉ lệ diện tích giữa các tam giác có chung chiều cao hoặc có chung đáy.

**Bước 3: Áp dụng tỉ lệ diện tích**
- Từ định lý của tỉ số diện tích tam giác, chúng ta biết rằng nếu hai tam giác có đỉnh cùng một điểm và đáy nằm trên một đường thẳng, thì tỉ lệ diện tích của chúng bằng tỉ lệ độ dài của đáy.

**Kết luận:**
Dựa trên các bước tính toán và sử dụng tỉ lệ diện tích, ta sẽ chứng minh được rằng:
\[
S_{IEK} = S_{KMC} + S_{INA} + S_{SEB}
\]
Có thể cần vẽ hình hỗ trợ và tính toán cụ thể để có được kết quả chính xác.