Để trả lời các câu hỏi trong bài toán này, chúng ta sẽ phân tích theo từng phần.

### A. Tứ giác AEPF là hình gì? Vì sao?

Tứ giác AEPF sẽ là hình chữ nhật.

**Giải thích:**
- Từ điểm A, ta có hai đường thẳng AE và AF được vẽ song song với AB và AC tương ứng.
- Do đó, góc ∠EAP = ∠ABP và góc ∠FAP = ∠ACP (bởi vì AB // AE và AC // AF).
- Điều này có nghĩa là góc ∠AEP = ∠APF = 90 độ (do các đường thẳng AE và AF song song với các cạnh vuông góc của tam giác).
- Tại điểm P (trung điểm của BC), ta không chỉ có AE và AF song song mà còn có EP và PF đều bằng nhau (do P là trung điểm), nên AE = PF và AF = EP.

Từ đó suy ra tứ giác AEPF có các cạnh đối bằng nhau và các góc đều 90 độ, điều này chứng minh rằng AEPF là hình chữ nhật.

### B. Chứng minh tứ giác APBI là hình thoi.

Để chứng minh rằng tứ giác APBI là hình thoi, chúng ta cần chứng minh rằng hai cặp cạnh đối song song và bằng nhau.

1. **Đẳng thức độ dài:**
- Xét hai cặp cạnh AP và BI, AI và PB.
- Bởi vì điểm I là điểm đối xứng với điểm P qua điểm F, nên AI = PF = AP và BI = AE = PB.

2. **Cách định nghĩa hình thoi:**
- Hình thoi là tứ giác có bốn cạnh đều bằng nhau (bằng nhau theo định nghĩa hình thoi).
- Do đó, nếu ta có tất cả các cạnh AB, AP, PB và AI đều bằng nhau, tứ giác APBI sẽ là một hình thoi.

Tóm lại, nhờ vào tính chất đối xứng và các cạnh bằng nhau, chúng ta có thể kết luận rằng tứ giác APBI là hình thoi.