Để giải bài toán này, ta sẽ gọi độ dài ba cạnh của tam giác vuông lần lượt là \(a\), \(b\) và \(c\) (trong đó \(c\) là cạnh huyền).

Theo yêu cầu, ba cạnh \(a\), \(b\), \(c\) lập thành một cấp số cộng (trong đó \(a < b < c\)). Vì vậy ta có thể đặt:

\[
b = a + d \quad (1)
\]
\[
c = a + 2d \quad (2)
\]

với \(d\) là một số dương.

Theo thông tin cho biết, chu vi tam giác vuông là 24, tức là:

\[
a + b + c = 24
\]

Thay (1) và (2) vào phương trình chu vi, ta có:

\[
a + (a + d) + (a + 2d) = 24
\]

Rút gọn:

\[
3a + 3d = 24
\]

Chia cả hai bên cho 3:

\[
a + d = 8 \quad (3)
\]

Từ phương trình (3), ta suy ra \(d = 8 - a\).

Bây giờ, thay \(d\) vào (1) và (2):

\[
b = a + (8 - a) = 8
\]
\[
c = a + 2(8 - a) = a + 16 - 2a = 16 - a
\]

Bây giờ, vì tam giác là tam giác vuông, theo định lý Pytago, ta có:

\[
a^2 + b^2 = c^2
\]

Thay giá trị \(b\) và \(c\) vào:

\[
a^2 + 8^2 = (16 - a)^2
\]

Tính từng phần:

\[
a^2 + 64 = 256 - 32a + a^2
\]

Rút gọn hai vế:

\[
64 = 256 - 32a
\]

Chuyển hạng tử:

\[
32a = 256 - 64 = 192
\]

Chia cả hai bên cho 32:

\[
a = \frac{192}{32} = 6
\]

Vậy cạnh nhỏ nhất của tam giác vuông là \(a = 6\).

**Kết luận:** Độ dài cạnh nhỏ nhất của tam giác vuông là \(6\).