Để giải bài toán này, ta làm từng phần theo yêu cầu.

### a) Tính giá trị của \( A \) khi \( |x - 2| = 1 \)

Khi \( |x - 2| = 1 \), ta có hai trường hợp:

1. \( x - 2 = 1 \) ⇒ \( x = 3 \)
2. \( x - 2 = -1 \) ⇒ \( x = 1 \)

Tính toán giá trị của \( A \) cho từng giá trị của \( x \):

**Khi \( x = 3 \):**
\[
A = \frac{x + 1}{x^2 - 2x} = \frac{3 + 1}{3^2 - 2 \cdot 3} = \frac{4}{9 - 6} = \frac{4}{3}
\]

**Khi \( x = 1 \):**
\[
A = \frac{x + 1}{x^2 - 2x} = \frac{1 + 1}{1^2 - 2 \cdot 1} = \frac{2}{1 - 2} = \frac{2}{-1} = -2
\]

Vậy kết quả:
- Khi \( x = 3 \), \( A = \frac{4}{3} \)
- Khi \( x = 1 \), \( A = -2 \)

### b) Chứng minh \( B = \frac{8}{x - 2} \)

Ta có biểu thức:
\[
B = \frac{x + 2}{x - 2} - \frac{x - 2}{x + 2} - \frac{16}{4 - x^2}
\]

Biểu thức \( 4 - x^2 \) có thể viết lại là \( (2 - x)(2 + x) \). Do đó:
\[
\frac{16}{4 - x^2} = \frac{16}{(2 - x)(2 + x)}
\]
Nên
\[
B = \frac{x + 2}{x - 2} - \frac{x - 2}{x + 2} - \frac{16}{(2 - x)(2 + x)}
\]

Để tính toán \( B \), lấy mẫu số chung của hai phân số đầu:
Mẫu số chung là \( (x-2)(x+2) \):
\[
B = \frac{(x + 2)^2 - (x - 2)^2}{(x - 2)(x + 2)} - \frac{16}{(2 - x)(2 + x)}
\]
Công thức hiệu hai bình phương là:
\[
a^2 - b^2 = (a - b)(a + b)
\]
Vậy ta có:
\[
(x + 2)^2 - (x - 2)^2 = ((x + 2) - (x - 2))((x + 2) + (x - 2)) = (4)(2x) = 8x
\]
Do đó:
\[
B = \frac{8x}{(x - 2)(x + 2)} - \frac{16}{(2 - x)(2 + x)} = \frac{8x}{(x^2 - 4)} + \frac{16}{(x^2 - 4)}
\]
Bây giờ kết hợp lại:
\[
B = \frac{8x + 16}{x^2 - 4} = \frac{8(x + 2)}{(x - 2)(x + 2)} = \frac{8}{x - 2}
\]

Như vậy, đã chứng minh được \( B = \frac{8}{x - 2} \).

### c) Đặt \( P = \frac{B}{A} \). Rút gọn biểu thức \( P \)

\[
P = \frac{\frac{8}{x - 2}}{\frac{x + 1}{x^2 - 2x}} = \frac{8}{x - 2} \cdot \frac{x^2 - 2x}{x + 1} = \frac{8(x^2 - 2x)}{(x - 2)(x + 1)}
\]
Rút gọn \( P \):
\[
P = \frac{8x(x - 2)}{(x - 2)(x + 1)} = \frac{8x}{x + 1} \quad (x \neq 2)
\]

### d) Tìm \( x \) nguyên để \( P \) là số tự nhiên

Ta có \( P = \frac{8x}{x + 1} \). Để \( P \) là số tự nhiên, \( x + 1 \) phải chia hết cho \( 8 \).

Gọi \( x + 1 = k \), với \( k \geq 0 \):
\[
k \text{ chia hết cho } 8 \Rightarrow k = 8m \Rightarrow x = 8m - 1
\]

Với điều kiện \( k > 0 \Rightarrow m \geq 1 \) cho \( x \) nguyên là \( 7, 15, 23, \ldots \) (bạn có thể tìm thêm các giá trị lớn hơn nếu cần).

### e) Tìm \( x \) nguyên để

Phần e có vẻ chưa đầy đủ, bạn vui lòng cung cấp thông tin thêm để mình giúp bạn tiếp tục nhé!