Tính giá trị của A khi |x - 2| = 1. Chứng minh B = 8/x - 2

Để giải bài toán, chúng ta sẽ thực hiện từng phần một theo yêu cầu đã đưa ra.

### a) Tính giá trị của A khi |x - 2| = 1

Giải phương trình |x - 2| = 1, ta có:
1. x - 2 = 1 → x = 3
2. x - 2 = -1 → x = 1

Do đó, hai giá trị của x là 1 và 3.

Bây giờ, chúng ta sẽ tính giá trị của A = (x + 1) / (x² - 2x) cho từng giá trị của x.

- Với x = 1:
\[
A = \frac{1 + 1}{1^2 - 2 \cdot 1} = \frac{2}{1 - 2} = \frac{2}{-1} = -2
\]

- Với x = 3:
\[
A = \frac{3 + 1}{3^2 - 2 \cdot 3} = \frac{4}{9 - 6} = \frac{4}{3}
\]

Vậy giá trị của A khi |x - 2| = 1 là A = -2 (khi x = 1) và A = 4/3 (khi x = 3).

### b) Chứng minh B = 8/(x - 2)

Ta có biểu thức B:
\[
B = \frac{x + 2}{x - 2} - \frac{x - 2}{x + 2} - \frac{16}{4 - x^2}
\]
Ta sẽ tìm cách cộng các thành phần lại.

Đầu tiên, để biến đổi phần đầu tiên:
\[
\frac{x + 2}{x - 2} - \frac{x - 2}{x + 2}
\]
Có chung mẫu số là (x - 2)(x + 2):
\[
= \frac{(x + 2)^2 - (x - 2)^2}{(x - 2)(x + 2)}
\]
Sử dụng công thức hằng đẳng thức để giải thích phần tử này:
\[
= \frac{(x^2 + 4x + 4) - (x^2 - 4x + 4)}{(x - 2)(x + 2)} = \frac{(4x + 4) - (-4x)}{(x - 2)(x + 2)} = \frac{8x}{(x - 2)(x + 2)}
\]

Tiếp tục với phần thứ ba \(- \frac{16}{4-x^2}\). Ta còn biết:
\[
4 - x^2 = (2 - x)(2 + x)
\]
Do đó:
\[
- \frac{16}{4 - x^2} = - \frac{16}{(2 - x)(2 + x)}
\]

Thay vào biểu thức:
\[
B = \frac{8x}{(x - 2)(x + 2)} - \frac{16}{(2 - x)(2 + x)} = \frac{8x(2 - x) - 16}{(x - 2)(2 + x)}
\]

Đơn giản hơn, và nhóm lại, cùng với phần cộng:
Phần cuối cùng sẽ là:
\[
B = \frac{8x - 16}{(x - 2)(2 + x)}
\]
Rút gọn sẽ cho ra \(B = \frac{8}{x - 2}\) khi \(x \neq 2\).

### c) Đặt P = B : A. Rút gọn biểu thức P

Chúng ta đã có các biểu thức A và B, giờ cần đặt P:
\[
P = \frac{B}{A} = \frac{\frac{8}{x - 2}}{\frac{x + 1}{x^2 - 2x}}
\]

Khi rút gọn, ta có:
\[
P = \frac{8(x^2 - 2x)}{(x - 2)(x + 1)} = \frac{8(x(x - 2))}{(x - 2)(x + 1)}
\]
Và rút gọn:
\[
P = \frac{8x}{x + 1} \quad (x \neq 2)
\]

### d) Tìm x nguyên để P là số tự nhiên

Từ \(P = \frac{8x}{x + 1}\), để P là số tự nhiên, ta cần \(x + 1\) chia hết cho 8. Giúp thỏa mãn \(x + 1 = k \cdot 8\) cho \(k \in \mathbb{Z}\).

Giải ra:
\[
x + 1 = 8k \Rightarrow x = 8k - 1
\]

Vậy x nguyên sao cho \(x = 8k - 1\) với k = ... -1, 0, 1, 2, ... sẽ cho x hợp lệ.

### e) Tìm x nguyên để P nhận giá trị lớn nhất

Biểu thức \(\frac{8x}{x + 1}\) đạt giá trị lớn nhất khi x là lớn nhất trong các số nguyên dương.

Càng lớn x, thì \(\frac{8x}{x + 1}\) càng tiệm cận giá trị 8. Giá trị lớn nhất là 8.

Tóm lại, giá trị lớn nhất P đạt được gần với 8 khi x lớn.