Rút gọn biểu thức

Để rút gọn biểu thức \( \frac{5^{10} \cdot 7^{-25} \cdot 49^2}{(125 \cdot 7)^3} + 5^9 \cdot 14^3 \), chúng ta sẽ làm từng bước một.

Đầu tiên, chúng ta sẽ biến đổi các thành phần trong biểu thức:

1. **Biểu thức \( 49^2 \)**:
\[
49 = 7^2 \implies 49^2 = (7^2)^2 = 7^4
\]

2. **Biểu thức \( (125 \cdot 7)^3 \)**:
\[
125 = 5^3 \implies (125 \cdot 7)^3 = (5^3 \cdot 7)^3 = 5^9 \cdot 7^3
\]

3. **Biểu thức \( 14^3 \)**:
\[
14 = 2 \cdot 7 \implies 14^3 = (2 \cdot 7)^3 = 2^3 \cdot 7^3 = 8 \cdot 7^3
\]

Bây giờ chúng ta thay thế vào biểu thức đã cho:

\[
\frac{5^{10} \cdot 7^{-25} \cdot 7^4}{5^9 \cdot 7^3} + 5^9 \cdot (8 \cdot 7^3)
\]

Bây giờ, chúng ta sẽ rút gọn các phần trong phân số:

- Mẫu số:
\[
5^9 \cdot 7^3
\]

- Tử số:
\[
\frac{5^{10} \cdot 7^{-25} \cdot 7^4}{5^9 \cdot 7^3} = 5^{10 - 9} \cdot 7^{-25 + 4 - 3} = 5^1 \cdot 7^{-24} = \frac{5}{7^{24}}
\]

Biểu thức bây giờ trở thành:
\[
\frac{5}{7^{24}} + 5^9 \cdot 8 \cdot 7^3
\]

Chúng ta có thể viết lại \( 5^9 \) như sau:
\[
5^9 \cdot 8 \cdot 7^3 = 8 \cdot 5^9 \cdot 7^3
\]

Cuối cùng, chúng ta thu gọn toàn bộ biểu thức:
\[
\frac{5}{7^{24}} + 8 \cdot 5^9 \cdot 7^3
\]

Biểu thức không thể rút gọn hơn được nữa. Kết quả cuối cùng là:
\[
\frac{5}{7^{24}} + 8 \cdot 5^9 \cdot 7^3
\]