Chứng minh khi C di động thì K chạy trên 1 đường cố định

Để chứng minh các yêu cầu đã nêu trong bài toán, ta sẽ tiến hành từng bước sau đây:

### a. Chứng minh OD vuông góc BC

1. **Gọi điểm O là tâm của đường tròn, điểm A và B là hai điểm trên đường tròn với AB là đường kính.** Khi đó, góc ∠AOB = 90° vì AB là đường kính của đường tròn, theo định lý của đường tròn.

2. **Gọi C là điểm di động trên nửa đường tròn. ** Khi đó, hai đoạn thẳng OA và OB đều bằng bán kính đường tròn.

3. **Xét tam giác OAC và OBC:**
- Do O là tâm đường tròn, nên OA = OB.
- Do C nằm trên nửa đường tròn, góc ∠ACB có độ lớn 90° (theo định lý Sin).
- Từ đó, có thể suy ra góc ∠OCA + góc ∠OCB = 90°.

4. **Xét tia phân giác của góc BAC:**
Tia phân giác OD chia góc ∠BAC thành hai góc bằng nhau. Theo định nghĩa, ta có:
- ∠OAC = ∠OBC (vì OD là tia phân giác).

5. **Từ đó, áp dụng tính chất của góc:**
Với ∠OCA + ∠OBC = 90°, ta có:
- ∠OCA = ∠OBC
- Suy ra: OD vuông góc với BC.

### b. Chứng minh K di động trên một đường cố định

1. **Gọi K là điểm giao của hai tia AC và BD.** Theo định nghĩa, K là giao điểm của hai đường thẳng AC và BD.

2. **Nội dung bài toán cho thấy rằng C di động trên đường tròn.** Khi C di động, ta cần xem xét vị trí của K.

3. **Sử dụng hai tam giác đồng dạng:**
Nhìn từ O, ta có:
- OA = OB
- A, B, C nằm trên đường tròn, và OD vuông góc với BC → OD là đường phân giác, tức là AB chia BC thành hai phần tỉ lệ giữa OA và OB.

4. **Sử dụng tỉ lệ phần trăm:**
Khi C di động, vị trí của K được xác định bởi các tỉ lệ tương ứng với OA và OB. Vì O, A, B cố định, nên K sẽ di chuyển trong một đường cố định (đường thẳng), cụ thể là đường thẳng đi qua O.

### Kết luận

Do đó, từ các lập luận trên, ta đã chứng minh rằng:
- OD vuông góc với BC.
- Khi C di động, điểm K sẽ di chuyển theo một đường thẳng cố định, vì đặc tính hình học của tam giác và các điểm cố định O, A, B.

Điều này kết thúc bài chứng minh.