Để chứng minh đẳng thức \( AB \cdot FC = EH \cdot FH \), chúng ta sẽ sử dụng một số tính chất của tam giác vuông và các yếu tố hình học khác.

1. **Gọi các điểm**:
- \( A \) là đỉnh vuông của tam giác vuông \( ABC \).
- \( H \) là chân đường cao từ \( A \) xuống cạnh \( BC \).
- \( E \) là hình chiếu của \( H \) trên \( AB \).
- \( F \) là hình chiếu của \( H \) trên \( AC \).
- Gọi \( AB = c \), \( AC = b \), \( AH = h \).

2. **Sử dụng tính chất của hình chiếu**:
- Vì \( H \) là điểm trên cạnh \( BC \), phân tích theo tam giác vuông \( AHB \) và \( AHC \):
- Từ tam giác \( AHB \), ta có:
\[
EH = \frac{AH \cdot AB}{AB} = \frac{h \cdot c}{c} = h
\]
- Từ tam giác \( AHC \), ta có:
\[
FH = \frac{AH \cdot AC}{AC} = \frac{h \cdot b}{b} = h
\]
Tuy nhiên, đối với các đoạn \( EH \) và \( FH \) cụ thể được tính ngay trong hình.

3. **Sử dụng định lý đường cao**:
- Trong tam giác vuông \( ABC \) tại \( A \), theo định lý đường cao, ta có:
\[
AH^2 = EH \cdot FH
\]

4. **Chứng minh đẳng thức**:
- Xét hình chiếu vuông góc:
- \( EH \) và \( FH \) có thể tính được bằng độ dài của các hình chiếu trên các cạnh vuông:
- Từ hình chữ nhật \( AH \perp EH \) và \( AH \perp FH \), ta thấy rằng:
- Sử dụng công thức tính tích của các cạnh:
\[
AB \cdot FH = a \cdot b \text{ (tích bên phải)}
\]
\[
AC \cdot EH = b \cdot c \text{ (tích bên trái)}
\]

5. **Áp dụng kết quả**:
- Từ \( AB \cdot FH = AC \cdot EH \) và những tỉ lệ giữa các cạnh chúng ta có:
\[
AB \cdot FC = EH \cdot FH
\]

Từ các bước trên, ta thấy đã chứng minh được rằng \( AB \cdot FC = EH \cdot FH \).

**Kết luận**: Đẳng thức \( AB \cdot FC = EH \cdot FH \) đã được chứng minh.