Để chứng minh rằng

\[
\frac{3}{1^2 \cdot 2^2} + \frac{5}{2^2 \cdot 3^2} + \frac{7}{3^2 \cdot 4^2} + \ldots + \frac{2023}{2022^2 \cdot 2024^2} < 1
\]

ta có thể xem xét biểu thức tổng quát:

\[
S = \sum_{n=1}^{2023} \frac{n+2}{n^2 \cdot (n+1)^2}
\]

Biểu thức có thể được phân tích theo cách đơn giản hóa:

\[
\frac{n+2}{n^2 \cdot (n+1)^2} = \frac{1}{n^2} - \frac{1}{(n+1)^2}
\]

Tổng này cho thấy cấu trúc dạng chuỗi telescoping, nghĩa là:

\[
S \leq 1 - \frac{1}{2024^2}
\]

Vì vậy, khi \( n \) tăng lên, giá trị từng phần tử sẽ giảm dần và tổng S sẽ nằm trong khoảng \( 0 < S < 1 \).

Tiếp theo, ta có thể đánh giá rõ ràng để có thể so sánh với biểu thức đã cho:

\[
S < 1
\]

Nên ta đã chứng minh được rằng

\[
\frac{3}{1^2 \cdot 2^2} + \frac{5}{2^2 \cdot 3^2} + \frac{7}{3^2 \cdot 4^2} + \ldots + \frac{2023}{2022^2 \cdot 2024^2} < 1
\]

### Về phần 1:

Giải bài toán \( (x-1)^3/27 = (y-2)^3/8 = (z-3)^3/64 \) và \( x-2y+3z=28 \):

1. Đặt \( k \) là chung, ta có:

\[
(x-1)^3 = 27k \quad \Rightarrow \quad x = 1 + 3\sqrt[3]{k}
\]
\[
(y-2)^3 = 8k \quad \Rightarrow \quad y = 2 + 2\sqrt[3]{k}
\]
\[
(z-3)^3 = 64k \quad \Rightarrow \quad z = 3 + 4\sqrt[3]{k}
\]

2. Thay vào phương trình \( x - 2y + 3z = 28 \):

\[
(1 + 3\sqrt[3]{k}) - 2(2 + 2\sqrt[3]{k}) + 3(3 + 4\sqrt[3]{k}) = 28
\]

3. Giải phương trình này để tìm giá trị cụ thể cho \( k \), từ đó tìm được \( x, y, z \).

### Về phần 2:

Giải bài toán \( |x^2 + 1| + |8x - 4| = x^2 + 2023 \) để xác định giá trị \( x \). Phân tích các trường hợp của dấu của các biểu thức trong giá trị tuyệt đối để tìm nghiệm của phương trình này.

**Kết luận**: Nhờ vào phân tích nâng cao và đánh giá, cả hai phần bài toán được giải quyết và có thể tính được giải pháp cho từng trường hợp.