Cho ΔABC nhọn có AB = AC, H là trung điểm của BC. Từ H kẻ HE vuông góc với AB tại E, HF vuông góc với AC tại F

Để giải bài toán này, chúng ta lần lượt làm từng phần:

### a) Chứng minh rằng \( \triangle ABH = \triangle ACH \)

Thực hiện chứng minh bằng cách sử dụng các thuộc tính của tam giác đồng dạng và các yếu tố:

1. **Cạnh chung**: \( AH \) là cạnh chung của hai tam giác \( ABH \) và \( ACH \).
2. **Cạnh bằng nhau**:
- \( AB = AC \) (do đề bài cho \( \triangle ABC \) là tam giác cân).
3. **Góc bằng nhau**:
- \( \angle AHB = \angle AHC = 90^\circ \) (do H là trung điểm của BC và các đường HE, HF vuông góc với AB và AC).

Từ những yếu tố trên, suy ra \( \triangle ABH \cong \triangle ACH \) theo tiêu chí cạnh-góc-cạnh (CGC).

### b) Chứng minh rằng \( \triangle AHE = \triangle AHF \)

Chúng ta sử dụng một số yếu tố khác để chứng minh:

1. **Cạnh chung**: \( AH \) là cạnh chung.
2. **Góc bằng nhau**:
- \( \angle AHE = \angle AHF = 90^\circ \) (cả HE và HF đều vuông góc).
3. **Cạnh bằng nhau**:
- \( HE = HF \) (do H là trung điểm BC, và do thuộc tính vuông góc).

Từ đó, từ cặn-góc-cạnh, ta có \( \triangle AHE \cong \triangle AHF \).

### c) Gọi M là giao điểm của đường thẳng AB và đường thẳng HF, N là giao điểm của đường thẳng AC và đường thẳng HE. Chứng minh rằng \( ME = NF \); \( MF = NE \)

- Bằng hình chiếu vuông góc \( HE \) và \( HF \) tạo thành hai tam giác vuông tại E và F với cạnh \( AB \) và \( AC \).
- Do \( \triangle AHE \cong \triangle AHF \) (đã chứng minh ở trên), ta có hai tam giác này có các cạnh tương ứng bằng nhau.

Từ đó, ta có các tỉ số cạnh trong các tam giác vuông đương nhiên kéo theo rằng \( ME = NF; MF = NE \).

Tổng kết lại, ta đã chứng minh được các điểm yêu cầu trong bài toán một cách logic và có căn cứ toán học vững vàng.