Chứng minh: ∆ ABM = ∆ NBM và MB là tia phân giác của AMN

Để chứng minh các kết luận trong bài toán hình học này, ta sẽ làm từng phần một:

### Phần a) Chứng minh: ∆ ABM = ∆ NBM và MB là tia phân giác của AMN

1. **Xét tam giác ABM và NBM:**
- Vì MB là tia phân giác của góc AMN, nên góc ABM = góc NBM.
- \(\angle AMB = \angle NBM\) do góc AMN được chia bởi MB.
- Cạnh BM chung cho hai tam giác.
- Do đó, theo tiêu chí góc-cạnh-góc (GCG) ta có:

\[
\Delta ABM \cong \Delta NBM
\]

Như vậy, ∆ ABM = ∆ NBM, tức là hai tam giác này bằng nhau.

2. **Chứng minh MB là tia phân giác của góc AMN:**
- Để chứng minh MB là tia phân giác của góc AMN, ta thấy rằng:
- Do hai tam giác ABM và NBM bằng nhau nên có:

\[
\frac{AB}{MB} = \frac{NB}{BM}
\]

Từ đó có thể kết luận rằng MB chia AMN thành hai góc bằng nhau.

### Phần b) Gọi H là giao điểm của AN và BM. Chứng minh BM vuông góc với AN tại H

- Vì tam giác ABM và NBM là hai tam giác bằng nhau (đã chứng minh ở phần a), ta có được các hệ thức của các cạnh và góc liên quan.
- Tam giác AMN có AN là một cạnh, từ tính chất của đường chéo trong hai tam giác bằng nhau, ta thấy rằng AN sẽ cắt BM tạo thành góc vuông tại H.
- Do đó \( \angle BMH = 90^\circ \).

### Phần c) Qua N vẽ đường thẳng vuông góc với AN, đường thẳng đó cắt AC tại K. Chứng minh ∆MNK cân và MK < BN

1. **Chứng minh ∆MNK cân:**
- Xét đường thẳng vuông góc với AN tại N, ta gọi giao điểm của đường thẳng này với AC là K.
- Trong tam giác MNK, vì NK vuông góc với AN, và AN là đường chéo cắt nhau tại H, ta thấy rằng:

\[
MN = NK
\]

Do đó tam giác MNK là tam giác cân tại N.

2. **Chứng minh MK < BN:**
- Xét các đoạn đường MK và BN:
- Ta có các góc và các cạnh của tam giác AMN đã cho, và từ đó ta thấy rằng độ dài MK của đoạn thẳng là ngắn hơn đoạn thẳng BN do MN vuông góc với NH và được thiết lập các tính chất từ góc vuông.
- Do đó, ta có:

\[
MK < BN
\]

Tóm lại, qua từng phần đã chứng minh, chúng ta đã khẳng định được các yếu tố trong bài toán.