Để chứng minh \( \triangle AQC \sim \triangle BDC \) và \( AQ \cdot BC = AC \cdot BD \), chúng ta sẽ thực hiện như sau:

### Chứng minh \( \triangle AQC \sim \triangle BDC \)

1. **Xét các góc**:
- \( \angle AQC = \angle BDC \) (cùng nằm đối diện khi hai đường cao \( AQ \) và \( BD \) cắt nhau tại \( H \)).
- \( \angle AQC + \angle CAB = 90^\circ \) (vì \( AQ \) là đường cao).
- \( \angle BDC + \angle ABC = 90^\circ \) (vì \( BD \) là đường cao).

Từ đây, ta có:
\[
\angle AQC + \angle CAB + \angle ABC = 90^\circ + 90^\circ = 180^\circ
\]
Vậy, \( \angle CAB + \angle AQC = \angle ABC + \angle BDC \).

2. **Suy ra**:
Do đó, từ \( \angle AQC = \angle BDC \) và \( \angle CAB + \angle AQC = \angle ABC + \angle BDC \), ta có:
- \( \triangle AQC \sim \triangle BDC \) (theo tiêu chuẩn góc-góc).

### Chứng minh \( AQ \cdot BC = AC \cdot BD \)

Theo tính chất của tam giác đồng dạng, ta có:
\[
\frac{AQ}{AC} = \frac{BC}{BD}
\]
Từ đó, ta có thể viết:
\[
AQ \cdot BD = AC \cdot BC
\]
Suy ra:
\[
AQ \cdot BC = AC \cdot BD
\]

### Kết luận

Ta đã chứng minh được:
1. \( \triangle AQC \sim \triangle BDC \).
2. \( AQ \cdot BC = AC \cdot BD \).

Hai kết quả này đã hoàn thành phần a của bài toán.