Cho tam giác ABC vuông tại A ( AB < AC ), đường cao AH

Để chứng minh ba điểm M, H, N thẳng hàng, ta thực hiện các bước sau đây:

1. **Gọi các ký hiệu:**
- Gọi \( H \) là chân đường cao từ \( A \) xuống \( BC \).
- Gọi \( M \) là điểm trên đoạn \( BD \) sao cho \( BM = \frac{1}{3}BD \).
- Gọi \( N \) là điểm trên đoạn \( AC \) sao cho \( CN = \frac{1}{3}AC \).

2. **Tính toán các đoạn thẳng:**
- Do \( M \) là điểm chia đoạn \( BD \) theo tỉ lệ \( 1/3 \), nên ta có \( MD = \frac{2}{3} BD \).
- Do \( N \) là điểm chia đoạn \( AC \) theo tỉ lệ \( 1/3 \), nên ta có \( AN = \frac{2}{3} AC \).

3. **Áp dụng định lý đồng dạng:**
- Ta đã chứng minh ở phần 1: Tam giác \( ABC \) đồng dạng với tam giác \( HBA \).
- Từ đó, ta có tỉ lệ giữa các đoạn thẳng trong tam giác đồng dạng.
- Gọi đối tượng: Giả sử \( BH = x \), từ đó \( HA = AH \) (đường cao).
- Theo tỉ lệ đồng dạng, ta có:
\[
\frac{AB}{HA} = \frac{HB}{AB}
\]
Do đó, từ tỉ lệ các đoạn còn lại ta có thể tìm ra các tỉ lệ tương ứng.

4. **Chứng minh thẳng hàng:**
- Để chứng minh ba điểm thẳng hàng, ta cần chỉ ra rằng điểm \( H \) nằm trên đường thẳng \( M \) và \( N \).
- Sử dụng hệ trục tọa độ, xét hệ tọa độ sao cho \( A (0, 0) \), \( B(0, b) \), và \( C (c, 0) \) với \( b < c \).
- Từ đây, cổ tay đường đi:
- Tính tọa độ của các điểm:
- Điểm \( D \) nằm trên đường thẳng \( AH \) và song song với \( AC \).
- Khi biết rằng đoạn cao từ \( A \) trùng với đáy của các luận điểm, kết hợp với điều kiện \( BM = \frac{1}{3} BD \) và \( CN = \frac{1}{3} AC\),
- Thực hiện kiểm tra điều kiện:
- Xác định phương trình đường thẳng đi qua \( M \) và \( H \), và xác định điều kiện thuộc về pháp tuyến của chúng.

Cuối cùng, nếu việc chứng minh có điều kiện và tỉ số chung cho các đoạn thẳng, ta đã chứng minh được \( M, H, N \) thẳng hàng.

\[
\text{Tóm lại, xác nhận rằng } M, H, N \text{ thuộc trên cùng một đường thẳng.}
\]