Để chứng minh bất đẳng thức \( |x + y| \leq |x| + |y| \) với mọi số thực \( x \) và \( y \), chúng ta có thể sử dụng định nghĩa của giá trị tuyệt đối và một số tính chất cơ bản của nó.

### Phân tích từng trường hợp:

1. **Trường hợp 1:** \( x \geq 0 \) và \( y \geq 0 \)

Trong trường hợp này, chúng ta có:
\[
|x| = x \quad \text{và} \quad |y| = y
\]
Do đó:
\[
|x + y| = x + y
\]
Và:
\[
|x| + |y| = x + y
\]
Vậy nên:
\[
|x + y| = |x| + |y|
\]
Điều này chứng minh rằng bất đẳng thức đúng.

2. **Trường hợp 2:** \( x \geq 0 \) và \( y < 0 \)

Giả sử \( y = -b \) với \( b \geq 0 \). Khi đó:
\[
|x| = x \quad \text{và} \quad |y| = b
\]
Chúng ta có:
\[
|x + y| = |x - b|
\]
Có hai khả năng:
- Nếu \( x - b \geq 0 \) thì \( |x + y| = x - b \) và:
\[
|x + y| = x - b \leq x + b = |x| + |y|
\]
- Nếu \( x - b < 0 \) thì \( |x + y| = -(x - b) = b - x \):
\[
|x + y| = b - x \leq b + x = |x| + |y|
\]

3. **Trường hợp 3:** \( x < 0 \) và \( y \geq 0 \)

Tương tự như trường hợp 2, giả sử \( x = -a \) với \( a \geq 0 \):
\[
|x| = a \quad \text{và} \quad |y| = y
\]
Và chúng ta cũng có hai khả năng tương tự.

4. **Trường hợp 4:** \( x < 0 \) và \( y < 0 \)

Giả sử \( x = -a \) và \( y = -b \) với \( a, b \geq 0 \):
\[
|x| = a \quad \text{và} \quad |y| = b
\]
Trong trường hợp này thì:
\[
|x + y| = |-a - b| = a + b
\]
Và:
\[
|x| + |y| = a + b
\]
Như vậy:
\[
|x + y| = |x| + |y|
\]

### Kết luận

Từ các trường hợp đã phân tích, ta thấy rằng với bất kỳ \( x \) và \( y \) nào, bất đẳng thức \( |x + y| \leq |x| + |y| \) luôn đúng. Do đó, chúng ta đã hoàn thành việc chứng minh bất đẳng thức này.