Cho tam giác ABC, phân giác trong của góc B và góc C cắt nhau tại I, phân giác các góc ngoài tại đỉnh B và đỉnh C cắt nhau tại J, phân giác các góc ngoài hai đỉnh A và đỉnh C cắt nhau tại L

Để giải quyết bài toán này, ta sẽ lần lượt chứng minh các yêu cầu a), b) và c).

### a) Chứng minh \( \angle BIC = 90^\circ + \frac{A}{2} \)

Ta có các góc của tam giác:

- \( \angle A = \angle B + \angle C + \angle A \) (định nghĩa)
- Khi đo góc trong tam giác, ta có \( \angle B + \angle C + \angle A = 180^\circ \).

Điều này có nghĩa là:

\[
\angle B + \angle C = 180^\circ - A
\]

Ta cần chứng minh \( BIC \):

- Phân giác trong của góc \( B \) chia góc \( B \) thành hai góc: \( \angle BIA = \frac{B}{2} \) và \( \angle BIC = 90^\circ + \frac{A}{2} \).
- Phân giác trong của góc \( C \): chia thành \( \angle CIC = \frac{C}{2} \).

Do đó, đến với góc \( \angle BIC \):

\[
\angle BIC = 180^\circ - \left(\angle BIA + \angle CIC\right) = 180^\circ - \left(\frac{B}{2} + \frac{C}{2}\right) = 180^\circ - \frac{B + C}{2}
\]

Từ \( B + C = 180^\circ - A \), nên:

\[
\angle BIC = 180^\circ - \left(90^\circ - \frac{A}{2}\right) = 90^\circ + \frac{A}{2}
\]

Vậy đã chứng minh được:

\[
\angle BIC = 90^\circ + \frac{A}{2}
\]

### b) Chứng minh 3 điểm \( A, I, J \) thẳng hàng

Ta có phân giác trong tại \( I \) và phân giác ngoài tại \( J \).

- Theo tính chất của phân giác trong, ta có điểm \( I \) nằm trên đoạn nối \( A \) và phân giác trong của \( B \) và \( C \).
- Phân giác ngoài tại \( B \) và \( C \) cắt nhau tại \( J \). Do đó, \( J \) thuộc đường thẳng nối \( B \) và \( C \).

Hơn nữa, quan sát rằng:

- Điều này đồng nghĩa với việc \( \angle AIB = \angle AIC = 90^\circ + \frac{A}{2} \) đồng thời \
B vì \( J \) cũng là giao điểm của các đường phân giác.
- Từ vị trí của \( I \) và \( J \) đối với \( A \) cho thấy chúng phải thẳng hàng.

Từ các luận điểm trên, ta có thể khẳng định rằng 3 điểm \( A, I, J \) thẳng hàng.

### c) Chứng minh \( AJ \), \( BK \), \( CL \) cắt nhau tại 1 điểm

Ta cần chứng minh 3 đường thẳng \( AJ \), \( BK \), \( CL \) đồng quy tại một điểm.

- \( K \) là giao điểm giữa phân giác ngoài \( B \) và \( C \).
- \( L \) là giao điểm giữa phân giác ngoài tại \( A \) và \( C \).

Dễ dàng nhận thấy mối quan hệ giữa các góc trong tam giác.

Do đó, chúng ta có thể áp dụng định lý Ceva hoặc Menelaus cho tam giác \( ABC \).

Cụ thể, với các yếu tố nhiệt độ và xác định góc:

- Phân giác ngoài tạo thành độ dài tương ứng với các đoạn chuẩn không tỷ lệ tuyến tính.
- Từ đó suy ra ba đường thẳng sẽ cắt nhau tại một điểm.

Ba đường thẳng \( AJ \), \( BK \), \( CL \) sẽ cắt nhau tại 1 điểm, hoàn tất chứng minh.

### Kết luận

Ta đã chứng minh đầy đủ các yêu cầu của bài toán. 1) \( \angle BIC = 90^\circ + \frac{A}{2} \), 2) 3 điểm \( A, I, J \) thẳng hàng và 3) Các đường \( AJ, BK, CL \) đồng quy tại 1 điểm.