Chúng ta cần tìm số tự nhiên \( k \) để trong dãy số \( k + 1, k + 3, k + 5, \ldots, k + 19 \) (gồm 10 số) có nhiều số nguyên tố nhất.

Dãy số này có thể được viết là:

\[
k + 1, k + 3, k + 5, k + 7, k + 9, k + 11, k + 13, k + 15, k + 17, k + 19
\]

Ta sẽ kiểm tra các giá trị của \( k \) từ 0 đến 9 để tránh lặp lại.

1. **Khi \( k = 0 \)**:
Các số là: 1, 3, 5, 7, 9, 11, 13, 15, 17, 19.
Các số nguyên tố: 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19 (tổng 7 số).

2. **Khi \( k = 1 \)**:
Các số là: 2, 4, 6, 8, 10, 12, 14, 16, 18, 20.
Các số nguyên tố: 2 (tổng 1 số).

3. **Khi \( k = 2 \)**:
Các số là: 3, 5, 7, 9, 11, 13, 15, 17, 19, 21.
Các số nguyên tố: 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19 (tổng 7 số).

4. **Khi \( k = 3 \)**:
Các số là: 4, 6, 8, 10, 12, 14, 16, 18, 20, 22.
Các số nguyên tố: không có (tổng 0 số).

5. **Khi \( k = 4 \)**:
Các số là: 5, 7, 9, 11, 13, 15, 17, 19, 21, 23.
Các số nguyên tố: 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23 (tổng 7 số).

6. **Khi \( k = 5 \)**:
Các số là: 6, 8, 10, 12, 14, 16, 18, 20, 22, 24.
Các số nguyên tố: không có (tổng 0 số).

7. **Khi \( k = 6 \)**:
Các số là: 7, 9, 11, 13, 15, 17, 19, 21, 23, 25.
Các số nguyên tố: 7, 11, 13, 17, 19, 23 (tổng 6 số).

8. **Khi \( k = 7 \)**:
Các số là: 8, 10, 12, 14, 16, 18, 20, 22, 24, 26.
Các số nguyên tố: không có (tổng 0 số).

9. **Khi \( k = 8 \)**:
Các số là: 9, 11, 13, 15, 17, 19, 21, 23, 25, 27.
Các số nguyên tố: 11, 13, 17, 19, 23 (tổng 5 số).

10. **Khi \( k = 9 \)**:
Các số là: 10, 12, 14, 16, 18, 20, 22, 24, 26, 28.
Các số nguyên tố: không có (tổng 0 số).

Từ những trường hợp trên, số tự nhiên \( k \) có thể là \( 0, 2, 4 \) để có tổng cộng nhiều số nguyên tố nhất, là 7 số nguyên tố.

Vậy đáp án là:

\[
k = 0, 2, \text{ hoặc } 4
\]