Để tìm các số nguyên \( x \) sao cho biểu thức

\[
Q = \frac{27 - 2x}{12 - x}
\]

có giá trị nguyên, ta cần điều kiện để mẫu số khác không và tử số phải chia hết cho mẫu số.

1. **Điều kiện mẫu khác không**:
\[
12 - x \neq 0 \implies x \neq 12
\]

2. **Biểu thức chia hết**: Tức là \( 27 - 2x \) phải chia hết cho \( 12 - x \).

Ta có thể viết lại điều kiện chia hết như sau:

\[
27 - 2x = k(12 - x) \quad \text{với } k \in \mathbb{Z}
\]

Khi giải phương trình này:

\[
27 - 2x = 12k - kx
\]

Chuyển tất cả các hạng tử liên quan đến \( x \) về một phía:

\[
27 - 12k = -kx + 2x
\]

\[
27 - 12k = (2 - k)x
\]

Từ đây ta có:

\[
x = \frac{27 - 12k}{2 - k}
\]

**Giá trị nguyên của \( x \)**: Để \( x \) là số nguyên, \( 27 - 12k \) phải chia hết cho \( 2 - k \).

Ta kiểm tra với các giá trị nguyên của \( k \):

- **Nếu** \( k = 1 \):
\[
x = \frac{27 - 12 \cdot 1}{2 - 1} = \frac{15}{1} = 15
\]

- **Nếu** \( k = 2 \):
\[
x = \frac{27 - 12 \cdot 2}{2 - 2} \quad (\text{không xác định})
\]

- **Nếu** \( k = 0 \):
\[
x = \frac{27 - 12 \cdot 0}{2 - 0} = \frac{27}{2} \quad (\text{không nguyên})
\]

- **Nếu** \( k = -1 \):
\[
x = \frac{27 - 12 \cdot (-1)}{2 - (-1)} = \frac{27 + 12}{3} = 13
\]

- **Nếu** \( k = -2 \):
\[
x = \frac{27 - 12 \cdot (-2)}{2 - (-2)} = \frac{27 + 24}{4} = 12.75 \quad (\text{không nguyên})
\]

- **Nếu** \( k = -3 \):
\[
x = \frac{27 - 12 \cdot (-3)}{2 - (-3)} = \frac{27 + 36}{5} = 12.6 \quad (\text{không nguyên})
\]

Tiếp tục phương pháp tương tự cho các giá trị \( k \) khác để tìm các giá trị nguyên \( x \).

Sau khi kiểm tra các giá trị của \( k \), ta có thể tìm được:

- \( x = 15 \)
- \( x = 13 \)

Vậy các số nguyên \( x \) để \( Q \) có giá trị nguyên là:

\[
x = 15, 13 \quad \text{(trừ } x \neq 12 \text{)}
\]

Bạn có thể kiểm tra lại các giá trị này để xác định tính đúng đắn hơn.