Tìm n để n^3 - n^2 + n + 7 : n^2 + 1

Để giải bài toán này, cần tìm giá trị của \( n \) sao cho biểu thức \( \frac{n^3 - n^2 + n + 7}{n^2 + 1} \) là một số nguyên.

Trước tiên, ta sẽ thực hiện phép chia đa thức \( n^3 - n^2 + n + 7 \) cho \( n^2 + 1 \).

### Bước 1: Chia đa thức

1. **Thực hiện chia**:
- Chia \( n^3 \) cho \( n^2 \) ta được \( n \).
- Nhân \( n \) với \( n^2 + 1 \) ta được \( n^3 + n \).
- Trừ: \((n^3 - n^2 + n + 7) - (n^3 + n) = -n^2 + 7\).

2. **Tiếp tục chia**:
- Chia \( -n^2 \) cho \( n^2 \) ta được \( -1 \).
- Nhân \(-1\) với \( n^2 + 1 \) ta được \( -n^2 - 1 \).
- Trừ: \((-n^2 + 7) - (-n^2 - 1) = 8\).

### Bước 2: Kết quả phép chia

Ta có:
\[
\frac{n^3 - n^2 + n + 7}{n^2 + 1} = n - 1 + \frac{8}{n^2 + 1}
\]

### Bước 3: Điều kiện để là số nguyên

V ì vậy, \( \frac{8}{n^2 + 1} \) phải là một số nguyên. Điều này có nghĩa là \( n^2 + 1 \) phải là ước của 8. Các ước của 8 là 1, 2, 4, 8.

### Bước 4: Tìm \( n^2 + 1 \)

1. Nếu \( n^2 + 1 = 1 \) thì \( n^2 = 0 \) dẫn tới \( n = 0 \).
2. Nếu \( n^2 + 1 = 2 \) thì \( n^2 = 1 \) dẫn tới \( n = 1 \) hoặc \( n = -1 \).
3. Nếu \( n^2 + 1 = 4 \) thì \( n^2 = 3 \) dẫn tới \( n = \sqrt{3} \) hoặc \( n = -\sqrt{3} \) (không hợp lệ vì không phải số nguyên).
4. Nếu \( n^2 + 1 = 8 \) thì \( n^2 = 7 \) dẫn tới \( n = \sqrt{7} \) hoặc \( n = -\sqrt{7} \) (cũng không hợp lệ).

### Kết luận

Các giá trị thỏa mãn là:
- \( n = 0 \)
- \( n = 1 \)
- \( n = -1 \)

Vậy \( n \) có thể nhận giá trị là \( 0, 1, -1 \).